27 
durch verschiedene rechtreihige Stellungen bedingt, deren jede ihren 
besonderen Winkel hat, und welche die Spiralen von 2/5, %/s; Sıs, Yau, 23/54 
etc. bilden; ferner ergiebt sich, dass diese verschiedenen Stellungen, 
welche die Längszeilen von 5, 8, 13, 21, 34 bilden und deren ge- 
meinsamer arithmetischer Charakter darin liegt, dass jede Zahl der 
Summe der beiden vorhergehenden gleich ist, wenn man sie hin- 
sichtlich ihrer Entstehung betrachtet, durch Bifurcation oder Verdopp- 
lung einer Zahl entstehen, welche für jeden einzelnen Fall von vor- 
hergehenden Längszeilen bestimmt ist, und immer der Zahl jener 
Zeilen gleich ist, welche der hinsichtlich ihrer Verdopplung zu un- 
tersuchenden gleich ist. Wenn eine achtzeilige Stellung sich in eine 
Stellung mit einer grössern Anzahl von Zeilen umwandelt, so sind 
es 5 Zeilen, welche verdoppelt sind; also eine Zahl, welche der 
Zahl jener Stellung gleich ist, die der mit 8 Längszeilen voraus 
ging. Mit grosser Wahrscheinliehkeit lässt sich schliessen, dass 
an Aesten und Axen, an welchen die Längszeilen von 5, 8, 13, 21, 
34, 55 etc. vorhanden sind, diese Stellungen wirklich als gänzlich . 
verschieden vorkommen, obgleich oft weniger in die Augen fallend 
als bei den Stämmen der Cacteen. Wenn nun auch die so oft er- 
wähnten Zahlen 5, 8, 13 etc. an den Stämmen von Echinocactus 
so deutlich nachweisbar sind, so ist dennoch eine Ausnahme nicht 
selten vorhanden, welche, wie andere Abweichungen in den Zahlen- 
verhältnissen der Organe, entweder durch Fehlschlagen einer Kante 
oder besser vielmehr durch dasNichteintreten der Theilung derselben 
entsteht, oder es ist eine Kante oder selbst zwei, welche sich in der 
Regel nicht theilen, sind getheilt. Im ersten Falle ist die Zahl der 
Kanten um eine vermindert, es sind 12 anstatt 13, 20 und selbst 
19 anstatt 21; im letzteren Falle hingegen sind 14 anstatt 13, 22 
oder 23 anstatt 21 verhanden. Höhere Zahlen als die genannten 
kommen ebenfalls, jedoch seiten vor; sie sind wahrscheinlich durch 
Abweichung von der regelmässigen Vervielfältigung der Zeilen be- 
dingt, welche bis zum Ursprung dieser Zeilen nach der ursprüngli- 
chen kreuzständigen opponirten Stellung zurückgehen. 
Andere Zahlen, welche zwischen ihnen regelmässige Reihen ana- 
log jener von 3, 5, 8, 13 ete. bilden und die oft in den Schriften 
über Phyllotaxie erwähnt sind, scheinen aus einer ursprünglich wir- 
telständigen Stellung, die von der, gewöhnlichen zweizähligen ver- 
schieden, abgeleitet werden za müssen. Die Untersuchungen des 
Verfassers gehen bis in das Jahr 1838 und 1839 zurück. Naumann s 
Werk, aufähnliche Thatsachen gestützt, nimmt seinen Angaben einen 
grossen Theil ihrer Neuheit. . 
