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wiederholt sich wie beim ersten und zweiten Umlauf. Die Spiral- 

 linie selbst wird daher in ihrer Stetigkeit keine Storungen erieiden 

 und erstreckt sich auf der Cylinderflache in unzahli^en, immer con- 



gruenten Untlaufen ins Unendliche. 



Anders aber gestaltcn sich die Verhaltnisse der Curve, wenn die 

 dieselben erzeugenden , anfangs constanten Factoren eine Verande- 

 rung erieiden; die Stetigkeit der Curve wird daher unterbrochen. 

 Die £iQwirkungen aber, welcbe auf die Stetigkeit der Carve fitorend 

 einwirken, sind von derselben Art, wle jene, welche die Stetigkeit 

 derselben hervorriefen, VVenn sich daher die Anzahl der den Rreis 

 Ai in eine AnZahl gleicher Theile theilenden Pankte sowie die an- 

 fangs constanten Entfernungen je zweier anf einander folgenden 

 Kreise nach einem bestimratea Gesetz verandert, bo erleidet anch 

 die durch diese beideo Factoren erzeugte Curve in ihrer Stetigkeit 

 eine Storung; die auf einander folgenden Umianfe einer Corve wer- 

 den sich von nun an nicht mehr congruent sein und die Curve wird 

 durch Zusammenwirken dieser beiden Factoren zu einer stetigen Ver- 

 anderung der Kriimmungsverhaltnisse veranlasst werden, so dass die 

 Curve oder deren Umlaufe nach der Richtang hin, nach weleher sie 

 sich erstreckt, allmahlig verschiedenartigeKrummungen erhlilt, welche 

 nach der Verschiedenheit der hier eintretenden Falle verscbiedene 

 nach diesen sich richtende Eif^enschaften annehmen. Darch diese Ver- 



anderang der im steten Wechsel sich befindenden zwei Factoren, 

 der Anzahl der Kreistheile and der gegenseitigen Entferoung dieser 

 Kreise selbst, werden verscbiedene Systeme von Spirallinien erzeagt, 

 welche durch diese zwei Factoren unter einander entstehen und 

 Mcb in G Hauptfalle zasammenfassen. ^ 



1. £s nimmt die Anzahl der Theilstriche der Kreise in einem 

 bestinimten stetigen Verhaltniss von unten nach oben ab, ebenso die 

 Entfernungen je zweier auf einander folgenden Kreise. 



2. Die Anzahl der Theilstriche wie Im vorigen Falle, aber die 



Entfernung je zweier auf einander folgenden Kreise nach oben sa 

 wachst stetig. 



3. Die Anzahl der Theilstriche wachst von unten nach oben in 

 einem bestimmten Verhaltniss, die Entfernang je zweier aaf^elnaa- 

 der folgender Kreise nach oben wird stetig kleiner. 



4. Die Anzahl der Theilstriche wie im vorigen FaHe, die Ent- 

 »rnaug je zweier auf einander folgenden Kreise nach oben wird 

 »tetig grosser. 



5. Die Anzahl der Theilstriche der Kreise von einem bestimmteB 

 Ponkt aus wachst nach oben in eioem bestimmten VerbaliniM vod 



