Laaige der verkurzten Internodien finden , aus der Anzahl der Um- 

 laafe der Spirallinie oder, was identisch ist, aas dem Grad der Dre- 

 huDg der Achse lasst sich der Ueberschuss der Verkurzung berech- 

 uen. Da maa die Gr&sse, um welche sich die Entfetnang je xweier 

 .auf eiaander foigenden iDternodien veraudert, als constant betrachten 

 kann, so wird dieser constaute Factor, welcher nach oben zu uega- 

 tiv genommen wird ^) , in den verkiirzten Internodien ebenfalls con- 

 stant bleiben, after die arspruugliche Grosse wird auf das Minimum 

 reducirt, d. b. der constante Factor, um welchen sich dieEntfernung 



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Je Eweier geaaberten Internodien iindert, wird nicht mehr derseibe 

 wie vorher bei regelmassiger Entfernung der Internodien sein. Die 

 Laiige der ganzen SpiralvTinduag , welche die Summe dieser gena- 

 het'ten Wirtel in sich schliesst, hat als Intemodium wie die iibrigen 

 om den constanten Factor, uoi welchen sammtliche Internodien von 

 oben nucli unten zunehmen*^}, sich ge^iudert, die Suoime der con- 

 stanten Factoren , daher der verkiirzten internodien kann = dem 

 cODstanten Factor^ um weUhen sich die Entfernung der iibrigen In* 

 teriiodien uberbaupt andert , gesetzt vi^erden. Wiirde man nun in 

 den absoluten Langenverhaitnissen ebenso wie in den Zalilenver- 

 haltuissen siehere Anha'tspunkte haben, so iniisbte dasselbe Bildungs- 

 gesetz aueh durch diesen Factor in seineu Werthangaben eine Be- 

 statigung eriangen. Die Art aber des organlschen VVachsthums 

 bringt es mit sich, dass die Gesetzmassigkeit desselben mebr in den 

 Zahlenverbaltnissen als dea mathematisclien Raumverlialtnissen sich 

 geUend macht, die Untersuchwng von dieser Seite aus — die geo- 

 metrische — wird daher durch die in festen mathematischen Gros- 

 sen sicher stebende — die aritlnneti^che — im Werthe ihrer sicheren 

 Bestimmung vermindert. 



Wenn ich in diesem V^ersucb der Betrachtuug eines eiufachen 

 Cegenttaades einen Weg ein^eschlagen habe , welcher sich von un- 

 serem wtssenschaftlicben Verfahren der morphologischen Betrachtuags- 

 weise mehr und mehr eutfernt, so glaube ich durch diese mathe- 

 matiscbe Behandlungsweise den richtigen Weg zur Erkennung 

 anzubahnen nicht verfehit zu haben. Wenn man geglaubt hat, die 

 mathematische Betraohtungsweise im Gebiete der Morphologic sei 

 der Naturder Sache nicht angemessen, und wenn man sie anvvendet, 

 Uiusse dieselbe auf die naturlichen Verhaltnisse, welche jedermano 



*) Fur den ersten Fall der oben 6 betrachteten moglichen Falle, welclier 

 das Bildungsgesetz fur den Fall unseres vorliegenden Exemplares in sich 

 scbliesst. 



'*'^) Dieser constaute Factor ist daber nach oben negativ, S. Fall 1, 



