146 Weıss: Theorie der Hexakis-Octaeder 
während das Quadrat des Radius = 6 (n’+n°-+). Also ist die Summe 
der Quadrate der Sinus der 12'Neigungen = 4, die:der Quadrate 
der Cosinus = 8. ji 
Es ist nicht nöthig auszusprechen, “dafs: das Verhältnifs der Sinus der 
12 Neigungen unter einander wiederum das rationelle der Grölsen en’--n-+H1 
u.s: f:, d.i. der jedesmaligen Divisoren in dem Ausdrucke des Werthes ist, 
welcher der Fläche in der in Rede stehenden Leucitdimension zukommt. 
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Stellen wir die Lehrsätze der 8$.1. 2. 3 und 5., betreffend die Sum- 
men der Quadrate der Sinus und Cosinus der Neigungen der gegebenen 
Fläche gegen die verschiedenen Dimensionen, die ursprünglichen und die 
abgeleiteten Axen des Systems, zusammen, so hatten wir für die Neigungen 
der Fläche reana | F T Ä 
gegen die 3 rechtwinklichen Axen, die Summe der Quadrate der Sinus = 1, der Cosinus = 2 
» » 6 mittleren Oct. Dim. `» Poss ” He —=2, un —4 
n » 4 kleinsten Oct. Dim. n ” n ” ” » =4, ” 7 =% 
” ” 12 Leucitdim. ” n > r, ei = ” ” i 4, net = 8. 
Es leuchtet ein, dafs, wenn n die Zahl der gleichartigen Dimensionen 
einer bestimmten Art ist, die 4 Lehrsätze sich unter dem einen gemeinschaft- 
lichen zusammenfassen lassen, dafs 
die Summe der Quadrate der Sinus = 
die Summe der Quadrate der Cosinus = 
oder, anders ausgedrückt: dafs das Verhältnifs der Summe der Quadrate 
der Sinus zu der Summe der Quadrate der: Cosinus =.1:2 ist;. denn da die 
Summe beider Summen = n sein mufs, so folgt aus dem gegebenen Ver- 
hältnifs 1:2, dafs die erstere Summe =4n, die'zweite = -$n sein müsse. 
Ob der Lehrsatz in dieser allgemeineren Form sich in Bezug auf alle 
und jede Gattungen von Dimensionen bewähren werde, wie das Schema der 
Combinationen,  4(n?-+n?+1), mit 3,2 multiplicirt, = 24@’’+-n’+1); jede der ternären 
Combinationen aber, wie n’+n-H1, n"—n—1 u.s.f. kommt 3mal vor, also die Summe der 
Quadrate der ternären Combinationen, . A(n? + à? + 1), wiederum mit 2.3 multiplicirt, 
= 24(n?-n*+ 1), giebt die Summe. der Quadrate, sämtlicher die Cosinus ausdrückenden 
Gröfßsen = 48(n’?-+n?+-1); vgl. den Lehrsatz $.2. S.139. Anm. i 
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