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Will man jetzt beurteilen, wie man den Wert dieser Möglich- 

 keiten nennen könnte, nämlich das summarische Schlußresultat 

 aller Fälle bei den Würfen, so wird man bald finden, daß viele 

 dieser zahlreichen verschiedenen Verlaufsmöglichkeiten denselben 

 summarischen Wert haben. Wir können, um eine Summierung 

 durchzuführen, jedem + und jedem -^ den numerischen Wert 1 geben. 

 Die zwei Möglichkeiten eines einzigen Wurfes sind alsdann -=- 1 

 und + 1. Die vier Möglichkeiten zweier Würfe werden demnach fol- 

 gendes ergeben: 1.,-^ 1 ^1=^2; 2.,^1 + 1=0; 3., + 1^ 1 = 

 und 4., + 1 + 1 = + 2. Da die beiden mittleren Fälle hier den- 

 selben summarischen Wert — nämlich — haben, erhalten wir 

 die folgende Übersicht in Bezug auf zwei Würfe 



Summarischer Wert . . -i- 2 -\-2 



Anzalil Fälle 1 2 1 im Ganzen 4. 



Wenden wir uns zu dem Beispiel mit drei Würfen, so wird man 

 einsehen, daß das Resultat von 1., -^ -f- -^, durch h- 3 ausgedrückt 

 wird, ferner daß die Resultate von 2., -^ — 'r- +. von 3., -~- + -^, so- 

 wie von 5., + —. — '—, wenn auch der Verlauf verschieden ist, alle 

 durch den summarischen Wert -i- 1 ausgedrückt werden. In ent- 

 sprechender Weise werden die Resultate der unter 4., 6. und 7. 

 angeführten Einzelfälle alle durch + 1 ausgedrückt. Und schließlich 

 wird das summarische Resultat von 8., + + +, durch + 3 ausge- 

 drückt. Die 8 Möglichkeiten des Spieles mit 3 Würfen lassen sich 

 also folgendermaßen gruppieren: 



Summarischer Wert . . -^3-^1-^-1-^3 



Anzahl Fälle 1 3 3 1 im Ganzen 8. 



Man hat hier überall eine Einteilung der „summarischen Werte" 

 mit einem Spielräume von 2, und die Anzahl der betreffenden Fälle 

 zeigt ein Aufsteigen und darauf ein Absteigen — für dreimaliges 

 Spiel ganz dem Binomium [a -\- 6)^ = a^ -\-Sa^ -f- Sab^ -{- b^ 

 entsprechend, welches mit a= b = i eben 1 + 3 + 3 + 1 gibt. 

 Für zwei Würfe entspricht das gefundene dem Ausdruck (a + by = 

 a^ + 2a6 + 6 2^ welches 1 + 2 + i gibt, und für ein einmaliges 

 Spiel entspricht das Resultat — die summarischen Werte aller 

 Möglichkeiten — dem Ausdruck {a -\- b)^ = a + b, also hier 1+1, 

 vgl. S. 8. 



Entwickelt man in ähnlicher Weise die 64 (2^) Möglichkeiten 

 eines Spieles mit 6 Würfen, so erhält man: 



