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hervorrufen. In denjenigen Yariationsreihen, welche wir vorläufig 

 berücksichtigen, setzen wir voraus, daß die Zahlenverteilung der 

 Binomialformel wenigstens annäherungsweise Gültigkeit hat; und 

 dadurch wird der Nullpunkt, von welchem die Abweichungen am 

 natürlichsten zu messen sind, gleich — oder doch fast gleich — 

 dem Mittelwerte, M. 



Es wurde schon besonders hervorgehoben, daß die Summe aller 

 Abweichungen von demselben gleich ist. Die Summe aller Ab- 

 weichungen in negativer Richtung ist ja genau so groß wie die 

 Summe aller Abweichungen in positiver Richtung. Darin zeigt es 

 sich eben am klarsten, daß der arithmetische Mittelwert ein guter 

 Ausgangspunkt für die Beurteilung der Richtung und Größe der 

 Abweichungen ist. 



Der Mittelwert hat aber eine andere charakteristische Eigen- 

 schaft, nämlich die, daß die Abweichungen von demselben 

 die kleinste Quadratsumme gibt, welche Abweichungen über- 

 haupt geben können. Es ist hier nicht unsere Aufgabe, dies mathe- 

 matisch zu beweisen; jedermann kann leicht eine Probe mit be- 

 liebigen Zahlen machen. Nehmen wir die Zahlen 21, 22, 25 und 

 28, welche als arithmetisches Mittel iW= 24 geben, so zeigen die 

 vier genannten Zahlen von diesem Wert die Abweichungen -^ 3, 

 -^- 2, + 1 und + 4, mit der Summe 0. Die Quadrate der Abwei- 

 chungen sind 9, 4, 1 und 16, die Quadratsumme der Abwei- 

 chungen ist also 30. Die Quadratsumme der Abweichungen von 

 jedem anderen Werte als dem Mittel ist immer größer. Nehmen 

 wir, in dem gewählten Beispiel 23 als Ausgangspunkt, dann 

 haben wir die Abweichungen -f- 2, -^1, +2 und + 5 (mit einer 

 Summe, die jetzt selbstverständlich nicht ist), deren Quadrate 4, 

 1, 4 lind 25 die Summe 34 geben. Und so in allen anderen Fällen: 

 die Quadratsumme der Abweichungen ist am kleinsten mit dem 

 Mittelwert als Ausgangspunkt bei Messung der Abweichungen. 

 Dieses Verhalten gibt der Quadratsumme eine besondere Bedeu- 

 tung. 



Es kann aber nicht unsere Aufgabe sein, die mathematischen 

 Betrachtungen, welche der Behandlung dieser Sache als Grundlage 

 dienen, auseinander zu setzen — hier muß auf Handbücher der 

 Yermessungslehre und Statistik verwiesen werden. Auf die soeben 

 erwähnte Eigenschaft des Mittelwertes wurde u. a. auch deshalb 

 aufmerksam gemacht, um zu erklären, daß man von der „Methode 

 der kleinsten Quadrate" spricht bei einer jetzt zu erwähnenden Be- 



