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daß die Einflüsse, welche die Abweichungen vom „typischen" Mittel 

 hervorrufen, stärker in der einen als in der anderen Richtung ge- 

 wirkt hätten. "Während die „ideale" Verteilung durch die Formel 

 (a -f- &)** mit a = h ausgedrückt wird, (welches bedeutet, daß die 

 "Wirkungen in den beiden entgegengesetzten Richtungen, -|- und H-, 

 im großen ganzen gleich stark sind, vgl. S. 36), wird die Ent- 

 wicklung des Ausdrucks {a -\- hy* mit a'^h oder a<^h eine schiefe 

 "Verteilung geben. Setzen wir a= 2 und & = 1 (welches bedeuten 

 würde, daß die Einflüsse in der einen Richtung zweimal so groß 

 wären als in der anderen), erhalten wir z. ß. aus (a -j- hy = a* 

 -^Qa^'h-^ 15a* h^ -f 20a' h^-\-i6a^ 6* -^ 6a&'* + 6«, wenn die Werte 

 für a und h eingesetzt werden, die folgenden 7 Glieder, welche 

 eine ganz deutliche, echte Schiefheit zeigen: 



Nummer des Gliedes . . i 2 3 4 5 6 7 

 Zahlenwert 64 192 240 160 60 12 1 



Soweit ich die betreffenden Arbeiten verstanden habe, hat 

 unter den Mathematikern namentlich Peaeson, mit ähnlichen Vor- 

 aussetzungen wie QuETELET, Formelu gebildet zur näheren mathe- 

 matischen Analyse der Schiefheit. Der holländische Astronom 

 J. C. Kapteyn hat aber darauf aufmerksam gemacht, daß diese Vor- 

 aussetzung unrichtig ist. Nur für niedrige Potenzen des Aus- 

 drucks (a -j- b) gilt es, daß Ungleichheit von a und b eine wesent- 

 liche Schiefheit in der Zahlenverteilung ergibt. Für höhere Po- 

 tenzen, z. B. (a -)- 6)^" und weiter, ist die Schiefheit ganz ohne 

 Belang, 



Es ist dieses ein für das Verständnis der Variationsgesetze 

 äußerst wichtiger Satz, welcher näher beleuchtet werden muß. 

 Darum habe ich die Berechnung von (a-f-^)*" ausgeführt. In den 

 41 Gliedern, welche daraus hervorgehen, wurden die "Werte für 

 a =: 2 und für b = i eingesetzt. Um nicht mit den großen Ziffern 

 arbeiten zu müssen, wurde die Summe aller Glieder auf 1000 redu- 

 ziert, i) Die äußersten Glieder werden dadurch so verschwindend 

 klein, daß sie überhaupt keine Bedeutung haben, wir können hier 

 sogar die ersten 4 und die letzten 17 Glieder vernachlässigen. 

 Wir haben sodann die folgende "Übersicht der Werte in Promille 

 der Glieder 5—24 des Binomiums (2-f-l)*'': 



(2 1\" 

 -^ + "q ) = 1,000 entwickelt. 



