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hin zeitraubend, selbst mit Tabellen oder anderen Hilfsmitteln. Noch 

 unangenehmer wäre es, mit dem noch genaueren Wert M = 24,364 mm 

 zu arbeiten. Wir brauchen uns mit solchen Schwierigkeiten aber 

 gar nicht zu quälen, denn es gibt eine viel einfachere und dabei 

 ganz genaue Methode, die wir anwenden wollen. 



Man verfährt so, daß man die Abweichungen nicht direkt von 

 M aus, sondern zunächst von Ä aus berechnet, d. h. von demselben 

 Ausgangspunkt, welcher für die Berechnung des Mittels gewählt 

 wurde (vgl. S. 34). Wenn wir die Abweichungen von Ä mit dem 

 Buchstaben a bezeichnen, haben wir sodann zuerst die mittlere 



Quadratsumnje aller a zu berechnen, also ^^-^- — . Dieser Wert ist 



n 



stets größer als der gesuchte Wert, ^^^ — ; denn wir erinnern 



uns, daß die Abweichungen vom wahren Mittel M immer die kleinste 

 Quadratsumme haben (S. 40). Um wie viel aber soll der Wert 



-^ — verkleinert werden, damit wir —^ — erhalten? Die Antwort 

 n n 



auf diese Frage ist leicht zu geben. Bei Berechnung des Mittels be- 

 nutzten wir die Formel M= A -\- b (S. 34), wobei b selbst positiv 

 oder negativ sein kann, je nach der Wahl von A. Diese Formel 

 ist unsere Grundgleichung hier. Die Abweichung vom Mittel (ilf), 

 welche irgend eine Variante, F, zeigt, ist V -i- M. Diese Größe 

 haben wir schon öfters mit a bezeichnet. Die betreffende Variante 

 hat eine Abweichung vom Ausgangspunkt (A), welche V -~ A ist; 

 und diese Größe nannten wir soeben a. Indem nun M = A-{- b 

 ist, wird V-~M=V-r-(A + b) = V-^A-^b. Setzen wir für 

 V-~- M und für V -^ A die Buchstaben a, bezw. a, ein, haben wir 

 a = a -4- b, und daraus : 



a + 6 = a, welches für jeden einzelnen Wert von a mit dem ent- 

 sprechenden Wert von a gilt; b ist ja konstant bei gegebener A. 



Durch Quadrieren erhalten wir 



(a -j- by^ = a^, welches ausgeführt 

 a^ -{- 2 a b -\- b^ = Si^ ergibt. 



Für die Summe aller dieser Werte (die Summe aller Abwei- 

 chungsquadrate) haben wir sodann 2p (a^ -\- 2 ab -{- b^) = 2pa^, 



A *," A T»T-.. 1 ^ 2p {a^ -[-2ab-{-b^) 2pa.^ ^ 



und für deren Mittelwert -^—^ ' ■ = -^ — Wenn 



n n 



wir die linke Seite dieser Gleichung auflösen, erhält die Gleichung 



die Form: 



