— 185 — 



Zuverlässigkeit des Mittelwertes erhalten. Aber dabei ist noch nichts 

 über die Schiefheit gesagt. 



Dafür verwenden wir die Summe der dritten Potenzen aller 

 Abweichungen. Bei vollkommener Symmetrie der Yariantenver- 

 teilung wird die Summe aller dritten Potenzen der Abweichungen 

 sein; denn jeder Minusvariante entspricht eine Plusvariante 

 gleicher Größe. Wo anscheinende Asymmetrie vorhanden ist, wird 

 aber auch die Summe der dritten Potenzen aller Abweichungen 

 sein (oder in praxi sehr nahe kommen ; durch die Klassenein- 

 teilung als Ausgangspunkt für die Berechnung wird das Material ja 

 immer etwas willkürlich behandelt). Bei echter Schiefheit stellt sich 

 die Sache aber ganz anders. Hier geben die genannten dritten 

 Potenzen eine positive oder negative Größe als Summe; und eben 

 diese Größe, mit Berücksichtigung des Yorzeichens, ist die ein- 

 fachste Grundlage für die Messung des Grades der Schiefheit und 

 für die Bestimmung ihrer Art: ob positiv oder negativ. 



Lassen wir zuerst ein paar Beispiele reden. Die (mit Äqui- 

 distanz der Klassen vorausgesetzte) symmetrische Reihe: 



Klassenwert 



12 3 4 5 6 7 Gesamtanzahl 



Anzahl | 1 6 15 20 15 6 1 | 64 



deren Mittelwert 4 ist, hat als dritte Potenzen der Abweichungen vom 

 Mittel nach beiden Richtungen -|-i^ ~\-2^ und -f-5^ (also i, 8 

 und 57), bezw. ~1\ ^2^ und -^5' (also -^1,-^8 und -^27). 

 Die Summe aller Abweichungen dritter Potenz nach rechts sind 

 somit: 15 • i -f- 6 • 8 -[- 1 • 57 = + 90, und links haben wir 15-^1 

 -\- 6 • -^ 8 -\- i ' -^ 27 = -r- 90. Die Gesamtsumme ist also 0. 

 Die schiefe Reihe aber: 



Klassenwerte 



5 6 7 



Gesamtanzahl 



Anzahl | 5 18 21 14 4 2 | 64 



deren Mittelwert auch 4 ist, hat folgende Summen für alle Abwei- 

 chungen in dritter Potenz: nach rechts 14«-f-i, ^'-\-8 und 2'-\-27^ 

 zusammen -j-iOO; und nach links 18 «^i und 5 «-^8, zusammen 

 -i-58. Die Gesamtsumme aller Abweichungen in dritter Potenz ist 

 sodann -\-42 (Klassenspielräume'). Dieses ist der Ausdruck einer 

 posjltiven Schiefheit o: relativ weite Ausziehung oder Yerbreitung 

 nach rechts in der Yariantenreihe. 



Die absolute Summe der dritten Potenzen der Abweichungen 

 kann offenbar ebensowenig hier als Maß der Schiefheit dienen, als 



