OTQ Achtes Kapitel. 



und ganzen der NEWTONschen Binomialformel (a + b)° ent- 

 spricht. Dieselbe ist ein sehr einfacher mathematischer Aus- 

 druck für das Gesetz der Wahrscheinlichkeit. 



Da für das Verständnis der fluktuierenden Variabilität die 

 Statistik mit ihren mathematischen Methoden in den letzten Jahr- 

 zehnten durch die bahnbrechenden Arbeiten von QuETELET, Galton, 

 Da VENPORT, Pearson, Johannsen u. a. eine große Bedeutung ge- 

 wonnen hat, sei auch auf diese mathematische Richtung biologischer 

 Forschung noch etwas näher eingegangen, wobei wir indessen eine 

 nähere Erörterung von P>agen der höheren Mathematik vermeiden 

 werden. Wer eine solche sucht, findet sie in dem grundlegenden 

 Werk von Johannsen und zum Teil in Goldschmidts Lehrbuch 

 der Vererbungswissenschaft. 



Die Ausführung der binomischen Formel (a -j- b)" ergibt: 



(a + b)i = a + b 



(a-f-b)2= a2+2ab + b2 



(a + hf = a^ -f 3a-b + aab^ + b^ 



(a + b)4 = a^ -f 4a3b + öa^b^ + ^ah^ + b^ 



usw. — (a + b)". 

 Wenn man nun für jeden Buchstaben den Zahlenwert i setzt, so 

 erhält man folgende Auflösungen: 

 (a-fb)^= i + i 



(a + b)2 = I _|_ 2 + I 



(a + b)3== I +3 + 3 + 1 



(a + b)^= I+4 + 6 + 4+I 

 etc. etc. 



(a + b)fo= I + 10 + 45+ 120 4- 2 10 + 252 + 2 10+ 120 + 45 + 10+ I. 



In den früher mitgeteilten, empirisch ermittelten Werten für die 

 Variantenreihen in verschiedenen Fällen fluktuierender Variabilität 

 wurde eine sehr ähnliche symmetrische Verteilung der Zahlen um 

 ein Mittel aufgefunden. Es ist geradezu überraschend, zu sehen, 

 wie weit die Übereinstimmung zwischen den Berechnungen der ab- 

 strakten Mathematiker und den empirischen Feststellungen geht. 

 Um dies dem Leser zu zeigen, seien zwei Beispiele: QuETELETs 

 Messungen an Soldaten und JOHANNSENs Messungen an Bohnen, 

 noch einmal angeführt. Hierbei ist unter die wirklich gefundenen 

 Zahlenwerte der Variationsreihe die berechnete ideale Zahlenreihe 

 gesetzt : 



Größe der Soldaten in 



Zoll 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 



Zahld. Soldaten pro 1000 2 2 20 48 75 117 134 157 140 121 80 57 26 13 5 2 I 



Theoretische Zahlen 5 9 21 42 72 107 137 153 146 I2i 86 53 28 13 5 20 



