32 



van de hoeken zijn: de logarithmische hoek, de helft van zijn complement, dus 

 3810'22" 



= 195'ir, en 90 - 195'H"= 1095'H", 



2 



terwijl de hoekpunten liggen in de centra van de drie laatste oneindig kleine cirkels. 

 Hierbij wordt het hoekpunt van den stompen hoek juist tot pool van de hoofdspiraal 

 der logarithmische afbeelding van de bolzuil, boven beschreven. Daarom kan deze 

 spiraal, die aan het contact (1 +2 + 3) en de divergentie 12810'22" = (180 

 5149'38") beantwoordt, met eenig recht, de ,,natuurlijke logarithmische spiraal" 

 genoemd worden. 



Het innige verband van den limietdriehoek van de hoofdreeks met de natuurlijke 

 logarithmen, wordt hierdoor nog duidelijker. 



Daar de grenshoek der bladstellingen gelijk is aan het kleinste stuk van den 

 in u. en m. r. verdeelden cirkelomtrek, dus 2 TT <7 2 = - 13730'28", moet hier nog een 

 andere limietdriehoek beschouwd worden, n.l. de cyclische limietdriehoek, waarvan 



de scheeve hoeken TT 2rufl2 == TCa 3 = - (1 fl 6) -_ = 4229'32" en 90 4229'32" = 



4 



TU 71 



= 4730'28" -(1 + fl6) z ijn, terwijl - 6 == 230'28" is. Uit een eenvoudige be- 



4 4 



rekening blijkt, dat 4730'28" de transcendentale hoek is van den halven grenshoek, 

 dus van TT a 2 == 6845'14", niet bij benadering, maar nauwkeurig. Stelt men nl. 

 in de algemeene vergelijking 



9 

 1 + tg- 



2 / cp\ 



elA == sec 9 + tg 9 = = tg I 45 + 



9 2/ 



i-tg- 



9 gelijk 4730'28", dan vindt men in verband met de periodiciteit der hyperbolische 

 funkties i) 



/ 45 + 230'28"\ 



e<A = tg I 45 + - == tg TTfl2 : = 2.5720 1 . 



Evenzoo vindt men uit 



9 

 l--tg- 



2 / 9\ 



e^ == sec 9 tg 9 = - =tgl45- 



9 \ 2/ 



+tg- 



/ 45 + 230'28"\ 4229'32" r 



eVi==tg45- = tg - = tg2114'46"= tg - (1 0^)= 0.3885 



! ) De door mij gebruikte literatuur: C. A. L a i s a n t, Essai sur les fonctions hy- 

 perboliques, pag. 14 en 22, Paris 1874; S. G ii n t h e r, Die Lehre von den Hyperbel- 

 funktionen, pag. 114 en 132, Halle 1881; L. K i e p e r t, Grundriss der Differential- und 

 Integralrechnung 12e Aufl. Tl. 1, pag. 139, 151, 530, Hannover 1912, is aangaande de 

 hier beschouwde vraag onduidelijk en ten deele onjuist. 



