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" Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction du troi- 

 » sième degré à n variables soit décomposable en trois facteurs linéaires, 

 » sont que le liessien de la fonction et toutes les dérivées du hessien (par 

 » rapport aux éléments de ce déterminant), jusqu'à celles de l'ordre [n— 3 ) 

 » exclusivement, soient identiquement nulles ; et, en outre, que les dérivées 

 » de l'ordre (n — 3) soient avec la fonction dans un rapport identiquement 

 » constant. » 



» Ainsi, u étant !a fonction, H son hessien, m^^ les dérivées secondes 

 de la fonction , les conditions énoncées seront : 



' • H = 0, -r-=0, , ^^_ =o,..., 



dUr^,dUr^^...dUr^_^,^_^ '^1 *' '^> ^2 '•„_, '^3 ' 



les Xj représentant des constantes. 



» Dans le cas des fonctions de trois variables, ces conditions se réduisent 

 à une seule : le rapport du hessien de la fonction à la fonction est identi- 

 quement constant. 



» J'ai.appHqué ces principes à la détermination de l'équation cubique des 

 asymptotes d'une courbe du troisième degré. 



" Je développerai dans un autre Mémoire les théorèmes analogues 

 relatifs aux fonctions d'un degré supérieur au troisième. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — A^ouue//e démonstration d'iin théorème fondamental 

 du calcul des variations ; par M. LiiynEiMEF. (Extrait.) 



(Commissaires, MM. Bertrand, Bienaymé.) 



if On sait que la variation d'une intégrale peut être présentée sous deux 

 formes différentes, suivant qu'on fait varier ou non les variables indépen- 

 dantes en même temps que les fonctions inconnues. C'est la forme relative 

 au premier cas que nous allons établir, en nous servant des seuls principes 

 du calcul différentiel. 



» En adoptant le point de vue qu'Euler a introduit dans le calcul des 

 variations, nous regardons toute fonction inconnue comme renfermant un 

 paramètre arbitraire i, et nous appelons variation la dérivée de la fonction 

 prise par rapport à ce paramètre. Nous regardons de même les variables x, 

 j-, z, . . . , t, comme des fonctions inconnues d'autres variables indépen-^ 



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