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dantes £, /;, Ç,..., t et du paramètre/, et nous appelons variations àex^j, 

 z, . . . , leurs dérivées par rapport à /'. 



» D'après cela, une fonction inconnue u des variables jr,j*, z, . . ., est 

 sujette à deux espèces de variations, vu qu'elle dépend du paramètre / tant 

 immédiatement qu'au moyen de ces variables, et il convient de les distin- 

 guer par des signes différents. Ainsi nous appelons variation propre et nous 

 désignons par au la dérivée partielle de u par rapport à /, tandis que la 

 dérivée totale de u par rapport au même paramètre sera appelée variation 

 totale et désignée par Dm. Quant aux variables J^jj", z, . . . , cette distinction 

 n'a pas lieu, et l'on pourrait employer indifféremment le signe D ou c? pour 

 leurs variations. C'est le dernier signe que nous adoptons. 



» Cela posé, nous allons chercher la variation d'une intégrale multiple 



S = f f Ç. .. vdxdydz . . . 



à limites variables, mais continues. A cet effet nous remplaçons d'abord les 

 variables x, j*, z, . . . , par d'autres variables Ç, y^, Ç, . . . , que nous suppo- 

 sons bées avec les premières par les équations différentielles : 



dx = a,d^ + ajdr] -^ a^dÇ -h. . .-h a„dr, 

 dj = b,d^ -\- h^dï] -{- b^d^ -^.. .-h b„ dz, 

 dz :^ c,d^ + Cidï] -ir CjdÇ -h. . .+ c„ dx. 



dt = h,d^ -^ h^ dri -*- h^dÇ -h. ..+ h„dx. 



Si l'on désigne, pour abréger, par la seule lettre T le déterminant 

 2(±:a, ^jCj. . .A„), formé avec les coefficients de ces formules, l'intégrale 

 transformée sera 



S'^j'ff...YTd^dndZ... 



Quant aux limites des deux intégrales, si la -première doit s'étendre à toutes 

 les valeurs de x, ^, z, . . . , qui rendent une certaine fonction L négative, 

 l'autre doit s'étendre pareillement à toutes les valeurs de ^, yj, Ç, . .., qui 

 satisfont à l'inégalité A < o, A étant ce que devient L par le changement des 

 variables. 



)) Comme nous supposons variables les limites de l'intégrale proposée, 

 L est une fonction de x, j\ z,. . ., dont la forme change avec le para- 

 mètre i, ce qui donne lieu à la variation propre c3*L. Mais on peut disposer 



