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 D'un autre côté, si l'on regarde èx, âj', c?z, . . . , connue des fonctions im- 

 médiates de .r, _y, z, . . . , on aura évidemment 



. dSa: , dSx dSx , dSx 



dx * dy ' dz * dt 



, dSx , dSx dSx , 



aa, = a, —, f- o, —, h c, — ; \- . . . + h 



dSx , dSx dSx , dSx 



dx dy ^ dt ^ dt 



,, dSx , dSx dSx , dSx 



» dSx I dSx dSx , dix 



'^^» = ^"-^ + ^--^ + ^«^ + ■ • • -^ '^» -rfT 



Far suite de ces développements, la somme 



'^T j, rfT j, dT . rfT j. 



da, da, da, da„ 



se réduit à 



da dx 



Un procédé semblable nous donnerait 

 et ainsi des autres; d'où il résulte enfin 



\ dx dy dz dt j 



» Si l'on reporte cette valeur dans l'expression DS, et qu'on v rétablisse 

 ensuite les variables primitives, on trouve définitivement pour la variation 

 de l'intégrale proposée : 



» Cette formule est due à M. Ostrogradsky, qui l'a établie par la méthode 

 infinitésimale; plus tard, Cauchy y est parvenu par d'autres considérations. 

 Quant à la démonstration que nous venons de proposer, et qui est essen- 

 tiellement fondée sur un changement de variables, il est juste de remarquer 

 que le même expédient avait déjà été employé par Poisson, lorsqu'il cher- 

 chait la variation d'une intégrale double. » 



