( IÏ2 ) 



assujettit le module de i à rester conipris entre les deux limites 



— cos^ . cos j!/ 



z, = tang-E 5 Z2 = cot-E, = -, 



qui sont les valeurs de z pour lesquelles l'équation (i) acquiert des racines 

 égales, il y a une des fonctions s qui est complètement déterminée par la 

 condition de se réduire à l'unité pour * = f et de varier d'une manière con- 

 tinue avec z. Cette fonction, qui n'a qu'une seule valeur pour chaque valeur 

 de z, est celle que nous désignerons dorénavant par la lettre s. 



» Cela établi, il est aisé de prouver que non-seulement la fonction s, 

 mais encore toute quantité de la forme KX" Y* Z" (où les exposants a, i, c 

 sont entiers et positifs,/ pouvant être fractionnaire ou négatif), sont déve- 

 loppables en séries ordonnées suivant les puissances entières, positives et 

 négatives de z, et ces développements subsistent tant que le module de z est 

 compris entre les limites z, et z^. Cela revient à dire que les séries de la 

 forme 



Aq -F A, cos Ç + Aj cos 2 Ç + . .. 

 + B, sin Ç 4- Bj sin 2 Ç + ..., 



auxquelles conduit la théorie du mouvement elliptiqiie, restent conver- 

 gentes, non-seulement pour toutes les valeurs réelles de Ç, ce qui est bien 

 connu, mais encore pour les valeurs imaginaires de cette variable dans les- 

 quelles le coefficient de / est moindre numériquement que la quanlité 



log cot - -H cos (j;. 



» Quant aux coefficients de ces séries, on les obtient par la règle sui- 

 vante : le nombre entier p étant positif ou négatif et R désignant, soit la 

 fonction s, soit une quantité de la forme KX" Y* Z", le coefficient de zf 

 dans le développement de K suivant les puissances de z est égal à celui de 

 i'' dans le développement du produit 



KE?H)[,-l(..i)]. 

 ou encore au coefficient de sP-^ dans le développement de 



- _-_E 2 V '/. 

 P as 



