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avantage les noiubres donnés par l'intégrale définie 



ou 



X = c"*^"' et c = la base des log. népériens. 



Ces nombres jouissent de propriétés remarquables, dont quelques-unes ont 

 été mentionnées par Cauchy ; on peut les rassembler dans la série des théo- 

 rèmes suivants : 



M Théorème I. — Le nombre N_,_y, p est égal à la partie constante du dé- 

 veloppement de a:~' (jc-\ — J (a: | suivant les puissances de x. 



» Théorème II. — Le nombre N_,.y,p est nul toutes les fois que la somme 

 des indices est négative ou impaire, il est égal à i si la somme est nulle. 



» Théorème lll. — Si /change de signe, N_j,y, p ne change pas lorsque p 

 ou / — i est pair; il change de signe sans changer de valeur dans le cas con- 

 traire. 



» Théorème IV . — Si on connaît tous les nombres N relatifs à une valeur 

 de/, on peut en déduire ceux qui se rapportent à la valeur de/ immédiate- 

 ment supérieure par la formule 



M Théorème V. — Si on connaît les nombres de Cauchy pour une certaine 

 valeur de p, on déduit ceux qui se rapportent à une valeur de p supérieure 

 par la formide 



N ■ ■ = N — N • 



» Théorème FI. — Il existe les relations suivantes entre les nombres de 

 Cauchy qui correspondent à une même valeur de i : 



N ■ • - '" N • • -^- ' n . . 



» Ces relations permettent de construire des tableaux des nombres N par 

 des règles analogues à celles qui servent à former le triangle arithmétique de 

 Pascal, et elles démontrent en même temps que les nombres figurés ne sont 

 qu'un cas particulier des nombres de Cauchy. 



