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 n = 2 et m'=: » ; cette relation devient donc 



^^=(S'-'-4^>^')'^^' 



dont l'intégrale est 



^ = S'-.X--J^^XV ou X'-i^^^'6'-X + l^x=o; 



d'où Ton tire 

 X 



= 2-7^= cos i2o° — ^arccos ; — ~- • 



La valeur de j: en fonction de X est donnée très-simplement, ainsi que nous 

 l'avons trouvé (18), (25), (27) et (43); tandis que la valeur de z ou celle de 

 X dépend, même dans le cas le moins compliqué comme le précédent, pour 

 lequel l'intégration s'effectue, de la résolution d'iuie équation du troisième 

 degré qui tombe dans le cas irréductible, et ne peut s'exprimer que par des 

 séries ou par des fonctions circulaires; c'est ce qui explique les difficultés 

 qui ont arrêté Lagrange dans les solutions qu'il a tentées, et qui, toutes, 

 exigaient la connaissance de la valeur de z ou de celle de X en fonction de 

 X. Dans les solutions auxquelles nous sommes arrivés (21), (2o), (33) 



et (40), en partant de la densité des gaz, il suffit de connaître y = ( — | 



qui est donné immédiatement par l'équation (lo), à l'aide d'une simple 

 extraction de racine, même en considérant le mouvement simultané des 

 deux mobiles. Si, comme application, on fait m = 3f/. dans le cas de ra = a, 

 cette équation (lo) devient 



/-^. I2a'e'\ rfX , ,^j ..^-i •'... 



(^X«--g^)--4-iaa^S' = o; 

 son intégrale est 



et l'on a 



X»- 36a=ê*S'-«X -f- 36a*S»a: = o, 



X i2g / „ » e'i/3?'x\ 



— = "7== — cos l I ao° — 5 arc cos — — 7-^ — ■> 



relations qtii donnent les expressions de or et de X au moyen des valeurs de 

 6 et de S'; celles-ci deviennent, quand m = 3 fi, 



=i^v/î 



^=1,0537707983925 et 8' = ^|^^j= 0,975549943; 



