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 des premières. Cette méthode diffère de celle qui a été donnée par M. M. Ro- 

 berts (Journal de Liouville, t. XV, p. 289). ,• 



M Soient trois surfaces homofocales du second ordre dont les demi-axes 

 sont p, [i, V, et les demi-distances focales communes b, c. Un point quel- 

 conque pris sur la surface p = const. est déterminé par l'intersection de 

 deux lignes de courbure 11, v tracées sur cette surface, de sorte que les 

 variables p,, v sont les coordonnées de ce point. Or l'on sait que les lignes 

 de courbure p., v se trouvent situées chacune sur une surface de révo- 

 lution du second ordre qui exprime que a^a, iv sont la somme ou la 

 différence des tangentes menées d'un de ses points à deux sphères égales, 

 dont le rayon et la position sont invariables pour toutes les lignes de cour- 

 bure (Comptes rendus, t. XLVllI, p. 886). Los centres de ces deux sphères 

 sont situés sur le grand axe de l'ellipsoïde, des deux côtés du centre, à unedis- 



, , . bc , . ' 1 > /(p=— iM (p"— c') ^,. ,, 

 tance égale a — ? et leur rayon est égal a i/ '-^ Si 1 on ap- 

 pelle T, t' ces deux tangentes, on a les deux relations : 



(l) 2|U, = T + t', (2) 2V = T— t'. 



» D'après cela, les variables t, t' peuvent servir à représenter un point 

 quelconque situé sur l'ellipsoïde, aussi bien que les coordonnées p,, v. Ceci 

 revient à remplacer les deux surfaces homofocales (pj, (v) par les deux 

 surfaces de révolution (i), (2). L'équation de la ligne géodésique tracée sur 

 la surface (p), tangente à la ligne de courbure |x, de la série (p), et for- 

 mant lui angle / au point (ijl, v) avec la ligne de courbure p., est 



p^ = p* cos* / -f- V* sin^ /. 



» Appelons arcs géodésiques conjugués par rapport à une ligne de cour- 

 bure a, deux arcs menés d'un point (jjl, v) tangentiellement à cette ligne de 

 courbure, Q l'angle de ces deux arcs. Il est visible que 2/ est le supplément 

 de l'angle S. Si nous remplaçons dans l'équation précédente les coordon- 

 nées p, V par les coordonnées -, t, l'équation de la ligne géodésique 

 ellipsoïdale prendra la forme 



( 3 ) 4 u. J = T» + t" - a tt' cos d. 



On déduit de cette équation le théorème suivant, qui en est l'interprétation 

 géométrique : 



« L Si d'un point quelconque de la surface d'iui ellipsoïde on mène deux 

 » tangentes t, t' aux sphères focales, l'angle des deux arcs géodésiques 

 » menés de ce point tangentiellement à la ligue de courbure p., est égal à 



6/,.. 



