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premiers, on cherchait le nombre des nombres premiers d'une classe 

 donnée. 



» La méthode que je vais exposer donne le moyen de résoudre cette 

 question dans certains cas particuliers, et conduit à des résultats que je 

 crois tout nouveaux. 



» Dans une Note que M. Hermite a bien voulu présenter à l'Académie 

 en mon nom, je faisais voir, par des considérations purement élémentaires, 

 qu'entre A et 4 A il y a toujours un nombre premier de la forme ^n -h i et 

 un autre de la forme 4" + 3. On peut même resserrer ces limites et affirmer 

 qu'entre A et 3 A il y a toujours un nombre premier de la forme ^n -{- i et 

 un autre de la forme 4" + 3. 



» En partant toujours de la formule générale 



2;iog(Km + r')=2;2*«g?''(^)(K«"+,) et r.c{r) = r^ (mod K), 



et en désignant par ô, {x) le produit des nombres premiers absolus infé- 

 rieurs à X, on a 



(0 2'log(4/n4-i) = logç),(x)+logy3^^)-hlog(p,(^) + logf3(^J4-..., 

 (2) 2'log(4m + 3) = log(p,{j:) + logç,(j) + logy,(^^j + .... 



D'ailleurs (en conservant nos notations) 



log?'(jj) < § Ax+ li^log^x + ^ logj:-f- loga + !,, 



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logç)'(.r ) > A.X logx — I , 



ou, pour abréger, 



logf(j:)</'(^), \ogf'{x)>f{x), 



et comme 



^o§ft{x)-h\og(p,{x)=^loe(f'{x), 



on en déduit 



(3) \og(p,{x)-hlog<p,{x)>J[x), 



(4) > logç,(dr) + logî),(x)</'(x). 



