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» 9. Il résulte de là que : Toutes les propriétés relatives à un système de 

 coniques inscrites dans un même quadrilatère s'appliquent à un système 

 de coniques homofocales. 



» Mais cette notion ne suffirait pas si l'on omettait de remarquer qu'au 

 nombre des coniques inscrites dans le quadrilatère circonscrit à un sys- 

 tème de coniques homofocales, s'en trouve une qui n'est pas une conique 

 homofocale, et qui néanmoins jouit des mêmes propriétés, comme conique 

 inscrite au quadrilatère; cette conique est le cercle imaginaire situé à 

 l'infini. 



» C'est la considération de ce cercle imaginaire qui conduit aux plus 

 belles propriétés des coniques homofocales, et surtout à celles dont les dé- 

 monstrations présenteraient souvent le plus de difficultés par d'autres voies. 



» 10. Enfin, ce cercle imaginaire établit une relation fort simple entre 

 tous les cercles tracés sur la sphère, relation singulière, peut-être, mais 

 qui nous sera d'une très- grande utilité. C'est que : 



» Tous les cercles (grands ou petits) tracés sur la sphère peuvent être consi- 

 dérés comme des coniques sphériques qui ont un double contact avec le cercle 

 imaginaire à l' infini. 



» H. Après ces considérations générales et préliminaires, nous passons 

 aux propriétés des coniques homofocales. 



» Ces propriétés sont extrêmement nombreuses, et leur nombre en rend 

 l'exposition difficile, car il ne permet guère un classement méthodique qui 

 serait si désirable. 



» Cependant nous avons cherché à renfermer la plupart et les plus im- 

 portantes de ces propriétés dans quatre propositions très-générales, des- 

 quelles elles pussent se conclure comme simples conséquences, au moyeu 

 d'hypothèses particulières très- variées. 



» Yoici quelles sont ces propositions générales : 



» Théorème 1. Etant données deux coniques homofocales A, A', et une troisième 



UA' 



on 



sera circonscrit 



conique quelconque U, si dans les quadrilatères UA (i) et 



inscrit deux coniques quelconques B, B' : /e quadrilatère BJ 



tout à la fois à une conique homofocale aux deux A, A', et à une conique homo- 

 focale à U. 



(i) Nous désignons par UA le quadrilatère circonscrit aux deux coniques U et A , 



c'est-à-dire le quadrilatère formé par les quatre arcs de grands cercles ( réels ou imaginaires) 

 tangents aux deux coniques. 



