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» Si l'on suppose que le cercle devient infiniment petit et se réduise à un 

 point, on retrouve le théorème (13). 



M 18. Quand la conique U est un petit cercle, comme nous venons de le 

 supposer, on peut dire qu'elle a un double contact avec le cercle imaginaire 

 situé à l'infini (10). Considérons celui-ci à l'instar des coniques homofo- 

 cales (9), et prenons-le pour la conique A dans le théorème (15) ci-dessus, 

 on aura cet énoncé : 



» Etant donnés deux petits cercles de même centre sphériqiie, U et B, et une 



conique sphérique A', si ton inscrit dans le quadrilatère 



UA' 



une conique 



quelconque B' : le quadrilatère B B' sera circonscrit à une conique homofo- 



cale à A'. 



» 19. On prend pour le cercle B le centre du cercle U; il en résidte 

 que : 



» Etant donnés un petit cercle U et une conique A'j si dons le quadrilatère 

 on inscrit une conique B', et que du centre du cercle U on mène deux. 



UA' 



arcs tangents à cette conique : les deux points de contact seront sur une conique 

 homofocale à A' et tangente en ces points aux deux arcs menés par le centre du 

 cercle U. 



» 20. Prenons pour la conique B' l'arc diagonal limité à deux sommets 



opposés du quadrilatère U A'i ; il en résulte que: 



.« Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique A' et à un cercle U, deux 

 sommets opposés sont sur une conique homofocale à A' ', et les arcs tangents à cette 

 conique en ces points passent par le centre sphérique du cercle (i). 



• 



(i) Corollaire. Quand le cercle est tangent à la conique en un point d, le quadrilatère circonscrit 

 devient un triangle abc, dont le c6té ae est Tare tangent aux deux courbes en leur point de contact <J; 

 les côtés ab, bc senties deux autres arcs tangents communs à ces courbes. 



Les deux points a, c du triangle représentent deux sommets opposés du quadrilatère primitif; par con- 

 séquent ils sont sur une conique bomofocale à la proposée, et les arcs tangents à cette courbe en ces points 

 passent par le centre sphérique du cercle. Pareillement, le troisième sommet b du triangle et le point de 

 contact d du côté ac représentent les deux autres sommets opposés du quadrilatère, et sont, par consé- 

 quent, sur une autre conique homofocale, dont les arcs tangents en ces points passent aussi par le centre 

 sphérique du cercle. 



Cette conique est déterminée par le seul point d; de sorte que si l'on a une infinité de cercles tangents 

 à la conique au même point d, le lieu des sommets i des angles sphériques circonscrits à la conique et à 

 chaque cercle est une conique homofocale. 



Mais c'est surtout la première partie du théorème, savoir, que les deux sommets a, c du triangle sont 

 sur une conique homofocale à la proposée, qui offre de l'intérêt; car elle conduit immédiatement à une 

 belle propriété du polygone d'un nombre de côtés donné circonscrit à une conique sphérique de péri- 

 mètre minimum, savoir que lei sommets de ce polygone sont situés sur une conique homofocale ; ce qui a 

 lieu aussi pour la portion du polygone, d'un nombre de côtés donné, de périmètre minimum,' circon- 

 scrite à un arc donné de conique sphérique. 



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