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plomb comme conducteur négatif en contact avec le sulfate de plomb. Du 

 reste, il y a quelques années, à l'usine de Dieuze, on a réduit ainsi à l'état 

 métallique des masses de sulfate de plomb provenant des chambres de 

 plomb de la fabrique d'acide sulfurique et que l'on vendait à vil prix ; 

 il est nécessaire de prendre des précautions convenables pour opérer la 

 fusion du plomb réduit qui contient quelquefois un peu de sulfate. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'évaluation approchée du produit i .1.3. ..x, 

 lorsque x est un très-grand nombre, et sur la formule de Stirling; par 

 M. J.-A. Serret. 



o 1. La formule de Stirling exprime, comme on sait, la somme des 

 logarithmes des x premiers nombres entiers, ou plus généralement le loga- 

 rithme de l'intégrale eulérienne de seconde espèce r(j:'+ i), par le moyen 

 d'une série essentiellement divergente et qui cependant peut être employée 

 avec avantage pour le calcul numérique. Cette formule remarquable a fait 

 danscesdernières années l'objet des recherches de plusieurs géomètres, parmi 

 lesquels je me bornerai à citer Cauchy, Binet, M. Liouville et M. Malmsten. 



» Les démonstrations les plus simples de la formule de Stirling reposent 



sur la détermination préalable de la dérivée ^ -^ en sorte que 



l'intégration introduit une constante arbitraire dans l'expression de la fono- 

 tion logr(j: + i). Pour déterminer cette constante, on peut employer divers 

 procédés et l'on y parvient, en particulier, en se servant, comme l'a fait 

 M. Liouville, de la formule connue de Wallis. Or, cette simple formule de 

 Wallîs suffit, à elle seule, pour établir complètement celle de Stirling, et la 

 déduction est si facile que la deuxième formule peut être regardée avec 

 raison comme une transformée de la première; c'est ce que je me propose 

 de faire voir dans la Note que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie. 

 » 2. La formule de Wallis est 



2 " 



-•2'5'i'ï 5-' — — (pour x = 00), 



133557 2.r — 3 2x — I 7.3: — 1 ^r /' 



et elle prend cette forme très-simple 



(I). ■ L^^ = , (pourx=:»), 



