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 — XX ou -, on pourra écrire 



■T- X ' 



e 



étant une quantité comprise entre — i et + i ; et si x devient infini, 

 on aura 



(4) ' ^=' (pour .r = 00). 



Si maintenant on divise l'équation (i) par l'équation (4)» il viendra 



(d[x)=^\ (pourx=:cc), 



c'est-à-dire, à cause de la formule (2), 



I 

 ^' I .2.3. . . j: = v^27re~'^jr ^(i + £^), 



en désignant par s.^ une quantité qui s'annule pour j: =: oc . 

 » 3. Si l'on pose 



r (x + 1 ) = 1 . 2 . 3 . . . x, 



on peut avoir immédiatement l'expression complète de r(.x4-i), ou, ce 

 qui revient au même, celle du logarithme népérien logT^x + 1). En effet, 

 on a identiquement 



log?(x) = log-f^ 4- log-'4^. +. .. 



-f- log ?('^ + '") ^ |q„ 3, ^j^ _,_ „j _^ jV 

 " y (x-H /n -+- i) o . \ I' 



mais si l'entier m croît indéfiniment, ç [x-\-m -+- 1) tend vers l'unité, et squ 

 logarithme tend vers zéro; on a donc 



X -hm) 



(6) iog9(x)= 2 '°g„:iï 



d'ailleurs les équations (2) et (3) donnent 



(7) logr(ar4-i) = Moga7r-.r4- (^x + '-^ log .r -^ log 9(0:), 



(8) log-îI^Jt^= /^ + ,„ + i\logf,.+-_l_) _ r, 



^ ' ^ f [x -\- m -^- i) \ 2/ ^ \ x-hnij ' 



