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 face menons une tangente « à la sphère et une perpendicvilaire t au plan, 

 on aura 



< + <' = tv, t— t' = v\ 



ces coordonnées t^t! , conduisent à une foule de propriétésanalogues à celles 

 des courbes du second degré relatives aux foyers. En particulier pour les 

 lignes de courbure v = const, w ^ const, on aura respectivement 



t -\-t' ^= const, t — t' = const. 



» L'équation de la ligne géodésique devient 



t — f'cos 2z = a, 



on en déduit des résultats simples. 



>■ On obtient aussi iu>e série de propriétés remarquables en projetant 

 obliquement les points de la surface sur les plans des sections circulaires 

 au moyen de parallèles à l'axe oz. 



» On trouve d'abord que les lignes de courbure A, B du paraboloïde se 

 projettent suivant deux séries de paraboles orthogonales Aq, Bq, qui ont 

 pour foyer commun la projection Fq de l'ombilic F. Aux coordonnées vw 

 d'un point M définies par les lignes A, B, correspondront donc en projec- 

 tion des coordonnées l'oiVg d'un point Mg définies par les courbes Ao Bo- 

 De plus aux coordonnées <<', correspondront deux nouvelles coordonnées 

 qui seront la distance /„ du point Mo au foyer Fg et sa distance t'g à la di- 

 rectrice des paraboles A,,. 



» Cela posé, si une courbe est définie sur le paraboloïde par une équa- 

 tion 



f{i>,w,t,t') — o, 



la courbe correspondante sur les plans des sections circulaires aura pour 

 équation 



/(ai'o, atVo, a<o, a<'o) = o, 



en posant a = t/-' 



n Ce théorème ramène l'étude des courbes tracées sur la surface à celle 

 des courbes planes correspondantes dans les plans des sections circulaires. » 



M. Painvin adresse une addition au Mémoire qu'il avait présenté dans 

 l'avant-dernière séance. 



