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 devienne entier : à ce moment ia seconde somme du premier membre s'aug- 

 mente de E (Xp.-)i c'est-à-dire de E(Xç), la première ne changeant pas. 



Quant au second membre de l'équation, il est évident que E (X^) ne change 

 pas, mais E(X/j) est augmenté d'une unité, donc le second membre comme 

 le premier s'accroît de E{Xp). Donc le théorème subsiste pour la première 

 valeur de X qui fait varier les deux membres de l'équation, par conséquent, 

 pour la seconde, la troisième, etc., et enfin pour toutes les valeurs infé- 

 lieures à la plus petite quantité qui rend en même temps Ip et Iq entiers. 

 J^onc, étant vrai pour X = o, le théorème a lieu également pour toutes les 

 valeurs de X moindres que la limite supposée. 



» Si l'on supprime la restriction admise à l'égard de X, j'observe que 

 toutes les fois que, cette quantité croissant d'une manière continue, Xpetlq 

 deviennent entiers en même temps, l'expression 



2 eH)+ 2 e("'> 



recevra un accroissement 



ECkp) + Em) =lp -hlq, 



tandis que E (X/j) 4- E^Xq) ne recevra que l'accroissement 

 X/)X^ — (Xjo — i)(Xy — i) = Xp+ X^ — I. 

 Par conséquent, on aura pour toutes les valeurs de X, l'égalité suivante : 



2 e(m^)+ 2 e(mÎ) = E(X/,)E(X9)-+-L, 



où L désigne combien de fois px et qx deviennent entiers lorsque x croît 

 de zéro à X, ou, si l'on veut, le nombre des solutions positives moindres 

 que X de l'équation 



{p -^ q)x = E{px)-+-E{qx). 



» Supposons maintenant p el q entiers, et X = — ^ k et k' étant aussi en- 

 tiers avec la condition k' < k. En désignant par e ety les résidus minima 

 positifs de p et q suivant le module k, les quantités k'e et k'J soient toutes 



