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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Note sur la méthode de Fermai pour la délerminalion 

 des maxhna et minima, et son application au problème des tangentes et des 

 centres de gravité; par M. J.-M.-C. Duhamel. 



a Si l'histoire des sciences conserve le souvenir des discussions, je pour- 

 rais dire des querelles, qui ont eu lieu à certaines époques entre les savants 

 les plus éminents, ce n'est pas qu'il importe d'apprendre à la postérité que 

 le génie ne préserve pas toujours des susceptibilités de l'amour-propre; 

 mais c'est que ces débats, auxquels les soannités seules de l'époque prennent 

 part, font connaître exactement ce qui est venu s'ajouter alors à la masse 

 des connaissances antérieures, et font assister en quelque sorte au travail 

 de l'esprit humain au moment où il enfante les grandes découvertes. 



n L'une des plus vives, et en même temps des plus intéressantes, est celle 

 à laquelle donna lieu la publication de la Géométrie de Descartes; et le sujet 

 de cette discussion est la méthode des maxima et minima de Fermât, avec 

 les applications qu'il en faisait à la détermination des tangentes et des 

 centres de gravité. 



» Descartes avait donné une méthode générale pour ramener à un pro- 

 cédé algébrique le problème des tangentes; et il montrait le cas qu'il en 

 faisait en disant que c'était ce qu'il avait le plus désiré de savoir en géomé- 

 trie. Fermât, au lieu d'admirer cette méthode, ainsi que tout ce qu'il y avait 

 de nouveau dans la Géométrie de Descartes, témoigna de la surprise de n'y 

 rien trouver concernant les questions de maxima et minima, et fit connaître 

 sans démonstration une règle pour la solution de ces questions, auxquelles il 

 ramenait celle des tangentes. Descartes, vivement blessé, chercha à éprouver 

 par des^ applications particulières l'exactitude de ces méthodes, dont on ne 

 donnait qu'un énoncé assez obscur, et qu'il n'était en quelque sorte possible 

 d'attaquer ou de défendre que par conjecture. Ainsi, pour la question des 

 maxima et minima, Descartes, se fondant sur ce que Fermât avait dit que 

 sa règle s'appliquait aux quantités qui prennent des valeurs plus grandes ou 

 plus petites que les autres, sous certaines conditions, considéra toutes les 

 lignes meiîées d'un point fixe aux divers points d'une courbe; et il ajouta 

 comme condition particulière qu'on ne s'occuperait que de celles qui seraient 

 menées à la partie de la courbe, convexe vers le point fixe. Cela posé, il 

 appliqua la règle dé Fermât à la recherche de la plus grande de toutes ces 

 lignes et trouva un résultat absurde; d'où il conclut l'inexactitude du pro- 

 cédé, et il en parla avec un mépris qui s'explique un peu par le dédain avec 

 lequel il s'était vu traiter Ini-même. 



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