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 vent une certaine loi, ont donné raison à cette prévision. Je dois aussi rap* 

 peler ici les théorèmes de même nature auxquels M. Hermite a été conduit 

 en étudiant le discriminant des équations modulaires. 



» Les résultats qui font l'objet de cette Note sont d'une nature différente. 

 Existe-t-il pour les déterminants une limite au delà de laquelle le nombre 

 des classes quadratiques surpasse nécessairement un nombre donné? Telle 

 est la question soulevée par Gauss, à la fin de la cinquième section, à propos 

 de la classification des formes. Le célèbre géomètre se borne à émettre une 

 conjecture, fondée sur les Tables construites par ses soins, et d'après 

 laquelle cette limite existe toujours, en sorte que le nombre des détermi- 

 nants compris dans chaque classification est nécessairement fini. Le but de 

 ces recherches est de résoudre cette question, sinon aussi complètement 

 qu'on pourrait le désirer, du moins dans des cas étendus. 



M On verra, en effet, qu'en prenant pour déterminants les nombres com- 

 pris dans certaines progressions arithmétiques, le nombre des classes qua- 

 dratiques contenues dans chaque genre surpasse r^— ou — r^ — ? n dési- 

 T^ 1 o r \ogn 2log« 



gnant la raison de la progression. 



» Nous nous appuierons sur le théorème suivant : 

 » En posant, suivant les notations de M. Hermite, 



ç)(m) = \/^, 

 toutes les solutions de l'équation 



•p*!^) = ?*(«) 



sont fournies par la formule ' 



c -f- da> 



X= -^1 



a -+■ OM 



a^ A, c, d étant des nombres entiers satisfaisant à la condition 



ad — bc = i ^ 



a et d étant impairs, i et c pairs. 



» Si l'on veut avoir y (a:^) =: y (w), il faut, aux conditions qui viennent 

 d'être énoncées, ajouter les suivantes : c^o modi6, et en même temps 

 a^d^^±i modS, ou bien c^8 modi6 et a^d^±5 mod 8. 

 Ces derniers résultats sont une conséquence immédiate des formules fonda- 

 mentales données par M. Hermite dans son Mémoire sur la théorie îles 

 équations modulaires. 



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