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» Notre analyse repose sur l'emploi des équations modulaires qui se 

 rapportent à des transformations d'un ordre marqué par une puissance 

 quelconque d'un nombre premier. C'est pourquoi, avant d'entrer en ma- 

 tière, nous allons indiquer brièvement leurs propriétés. 



» I. En premier lieu, posons 



« = y(w), P==9(^J, 



n désignant un nombre premier impair; v dépend d'une équation algé- 

 brique dont les coefficients sont des fonctions entières de u; celui du pre- 

 mier terme étant l'unité. Le degré de cette équation est égal à n^~^ [n + 1), 

 et ses racines sont représentées de la manière suivante {*) : 



. \n'l ^ \ ni'-'' 



m étant pris suivant le module n'* ', et non divisible par n, lorsque v, qui 

 doit recevoir les valeurs o, i , 2, . . . , /x, est différent de zérp. De plus celte 



équation demeure la même : 1° quand on y change m en - et i^ en -; 



1° quand on y change v en u eX. u en ( — \v. 

 » IL En second lieu, posons 



« = ?("), «' = ?(|l)' 



V est lié à u par une équation algébrique de degré a'*''"' par rapport à v, et 

 ne contenant aucune puissance de v non divisible par 8 dès que /jl surpasse 

 l'unité. Prenant donc r' pour inconnue, les racines sont représentées par 

 la formule 



V* = y' 



(w -h 8m\ 



m étant l'un quelconque des nombres entiers o, 1,2,..., 2'""^ — i . 



(*) Cette notation , qui a l'avantage de comprendre tous les cas possibles, représentera 

 l'unité lorsque v sera pair, et ( - j lorsque v sera impair. 



