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 tention des géomètres à la fois au point de vue historique, en montrant 

 combien Descartes avait réfléchi profondément sur la théorie des soli- 

 des, et au point de vue scientifique, par une proposition neuve dont l'im- 

 portance ne sera pas contestée. Comme l'énoncé en est donné d'une 

 manière assez obscure, je commencerai par transcrire le texte de Descartes, 

 en rétablissant la ponctuation. Je donnerai ensuite l'interprétation de ce 

 texte et la démonstration du théorème. 



» Sicut in figura pland omnes anguli externi simul juncli œquales sunt quatuor 

 redis, ita, in corpore sotido, omnes anguli sotidi externi simul juncti œquales 

 suntocto solidis redis. Per angulum extemum intelligo curvaturam seu inclina- 

 lionem planorum od invicem quam metiri opportel ex angulis planis angulum 

 solidum comprehendentibus . Nam illa pars, quâ aggregatum ex omnibus angulis 

 planis unum augulum solidum Jacientibus minus est quam quatuor anguli 

 recli (*), désignât angulum solidum. 



» Il semble difficile de comprendre ce que Descartes entend par angle 

 solide extérieur, et probablement le texte se trouve altéré assez profondé- 

 ment : mais la dernière phrase me fait conjecturer qu'il s'agit ici de l'angle 

 que nous appelons supplémentaire. Si l'on admet cette conjecture, on peut 

 dire : 



» De mèmequedans un polygone plan (convexe) la somme des suppléments 

 des angles plans est égale à quatre angles plans droits, de même dans un 

 polyèdre (convexe) la somme des suppléments des angles solides est égale 

 à huit angles solides droits. 



, » On voit dans cet énoncé un analogie complète entre la théorie des 

 polygones et celle des polyèdres, analogie non remarquée jusqu'à ce jour, 

 parce qu'on ne savait pas par quoi on devait remplacer les angles extérieurs 

 des polygones pour obtenir la proposition correspondante dans la théorie 

 des polyèdres. 



» Voici maintenant comment je démontre le théorème de Descartes. 



)) D'un point O pris dans l'intérieur du polyèdre j'abaisse des perpen- 

 diculaires sur toutes les faces. Les perpendiculaires abaissées sur les faces 

 d'un même angle solide sont les arêtes d'un nouvel angle solide qui est 

 le supplément du premier. Or, l'ensemble de tous ces nouveaux angles 

 remplit évidemment tout l'espace autour du point O. Donc, etc. 



» De là de nombreuses conséquences. Si l'on désigne par S le nombre des 



(*) Il y a dans le texte planumque, mot qui me paraît devoir erre supprimé. Peut-être y 

 avait-il : quatuor anguli recti plant P 



