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 sommets du polyèdre, par A le nombre des angles droits contenus dans la 

 somme de tous les angles plans, comme un angle solide supplémentaire d'un 

 autre angle solide a pour mesure quatre angles droits moins la somme des 

 angles plans de ce dernier, on aura 



(0 4S-A=8; 



mais si t est le nombre des faces triangulaires, q le nombre des faces quadri- 

 latères, etc., on a 



(2) A = 2< -f- 4? + 6/) + 8A + .... 



Donc, en remplaçant A par cette valeur et divisant par a, 



(3). 28 = 4 + < + 29 + 3/) + 4/»+ •••» 



égalité que Legendre déduit du théorème d'Euler. 



» Mais le théorème d'Euler est lui-même une conséquence du théorème 

 de Descartes; car soient a le nombre des arêtes et y le nombre des faces, 

 on a 



(4) . « 



^t + ^/f + 5p + 6h + .. 



2 



(5) /= « + 7 + /> + Â+ ..., 



ou 



,£.^ y. f -h ao -f- 3/? -1-4^ + . . • 



(6) «-/= '^ ■• 



Donc, en ayant égard à l'équation (3), on aura 



(7) S+/=a + 2, 



théorème d'Euler. 



» Descartes n'énonce point explicitement le théorème d'Euler; mais les 

 règles fort exactes qu'il donne pour déterminer le nombre des éléments de 

 certains solides, montrent qu'il avait poussé très-loin les conséquences de 

 l'égalité (i). » 



« M. J. Bertrand fait observer, à l'occasion de la Note précédente, que la 

 somme des angles extérieurs d'un polyèdre, considérée par Descartes, de- 

 vient, lorsque le polyèdre est remplacé par une surface, un élément qui 



