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 » L'existence de (A, B, G) avec les conditions énoncées résulte d'un 

 tliéorème énoncé précédemment. Il suffit donc de prouver l'équivalence 



de (A,B, G) et (n'"A,B, — V Soit u l'une des valeurs de — déduite de 



l'équation 



Aa:' -+- aBx;' 4- Cj'* = o; 



on peut trouver quatre nombres entiers a, jS, -y, â vérifiant la condition 

 ac? — Py = I , et tels, que l'on ait 



w y -+- 5a 



c'est-à-dire 



iSu* + (a - n''(?) w - y/i'" = o. 



Que l'on pose en effet 



/3 = AT, a -«''£? = 2 BT, 7k'' = -GT, 



et en même temps 



a + «''(?= ±2 8. 



L'égalité n'' = S* + AT* entraîne la suivante : 



n''=S»+ (AG-B*)T% 



en remarquant que A = AG — B'' ; on en conclut, n étant premier, que 



l'un des nombres BT — S, BT 4- S est divisible par n''; donc la valeur de 

 c?, tirée des équations précédentes, est entière en prenant convenablement 

 les signes. On reconnaît d'ailleurs sans difficulté que aâ — ^y = i. Gela 

 posé, l'équation 



n'^Ax' H- iBxj -I 7"' = o, 



1 



w . r ■ 1 1 ^ y -h 3m 



ayant pour racine — > est satisfaite quand on y remplace — par ——g-; 



et de là résulte immédiatement l'équivalence des deux formes proposées. 

 » Nous pouvons donc affirmer l'existence d'une période dont le nombre 

 des termes est fx, ou un diviseur de pi. 



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