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 l'équation de l'une ou de l'autre des deux manières suivantes : 



A' {y. n'y -+■ n^'â'.xY -+■ 2B' (y.n"'/ -h rv'è.x) {~-n''j + ^x\ 

 = «'.-+-"' A a:* ■+- iBx.n'f + -;^, («"'j )*, 



+ c'(«.i + !..)■ 



et en regardant x et rf'j^, ou bien x et -^j comme les indéterminées, nous 



pouvons en conclure que (A', B', C) fait dans les deux cas partie de la pre- 

 mière période, ce qui est contraire à l'hypothèse. Un raisonnement bien 

 connu suffit maintenant pour acheyer la démonstration. Jusqu'ici nous 

 avons supposé n impair : le cas où n = o. donne lieu à des considérations 

 analogues. Toutefois on doit alors se limiter aux formes dont le déter- 

 minant — A^s I mod8, appartenant à l'ordre improprement primitif. 

 Cette circonstance importe peu, puisque dans le cas actuel chaque classe de 

 l'ordre improprement primitif correspond à luie classe de l'ordre propre- 

 ment primitif. 



» Appelons (P, Q, R) une forme quelconque de l'ordre improprement 

 primitif; nous pouvons calculer une forme (A, B, C) appartenant à la même 

 classe que (P, Q, R), et dans laquelle C soit divisible par une puissance 

 de 2 aussi élevée que nous voudrons. Ecrivons la suite 



(I) (A,B,C), (2A,B,^), (2»A,B,^),...; 



en la poussant assez loin, nous trouverons forcément une classe déjà obte- 

 nue. Or (A, B, G) est la première classe qui reparaît de la sorte; supposons 



donc ( a''A, B, — | équivalente à (A, B, C). En appelant w la valeur de - 



déduite de l'équation 



A^' + iBxj -+- C^* = 0, 



