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 l'équivalence de nos deux formes entraîne l'équation 



w y + Sa 



c'est-à-dire 



/3«* + (a — a'^t?) w — 2''7 = o, 



a, p, 7, c? étant quatre nombres entiers vérifiant la condition aâ — ^y= 1. 

 On s'assure aisément que /3 est pair : l'équation précédente ayant une racine 

 commune avec 



Aw" -t- aBw -{- C = o, 



ses coefficients sont proportionnels à A, 2B, C; donc son déterminant 



D = AT», 



T étant un nombre entier, et, en posant 



on en conclut 



Ainsi l'existence d'une période de |x termes entraîne la possibilité d'une 

 représentation de a'""*'" par la forme principale (1 , o. A) : on a aussi 2'"'+'^ > A, 

 et par conséquent le nombre des termes d'une période surpasse t^^ — 2. 



» Les classes de l'ordre improprement primitif se subdivisent en genres : 

 toutes les formes de la suite (i) appartiennent au même genre lorsque A ne 

 contient que des facteurs premiers ^ ± i mod8; dans le cas contraire, 

 elles se partagent également entre deux genres distincts. D'après cela, 

 g étant le nombre des classes contenues dans un même genre, nous avons 



g ou 2g > T-5— — 2. 



^ '-' '' log2 



Appelons maintenant /Jt, + 2 l'exposant de la plus faible puissance de 2 

 susceptible d'être représentée par la forme (i, o, A); toutes les classes de 

 déterminant —A appartenant au même genre que (A,B, C), si A ne con- 

 tient que des facteurs premiers ^ ± i mod 8, et, dans le cas contraire, 



toutes celles qui font partie des mêmes genres que (A, B, C) et [ 2A,B, - 



