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 » Considérons la fonction 





dans laquelle n représente un nombre entier positif déterminé et a une varia- 

 ble positivé quelconque. On reconnaît de suite que cette fonction, d'abord 

 infinie pour a = o, décroît jusqu'à un certain minimum qu'elle acquiert 

 pour une valeur de a comprise entre n et n + i , et puis va constamment 

 en augmentant jusqu'à l'infini. En effet, la fonction devient infinie pour 

 a = o et pour a = <» ; donc elle admet au moins un minimum; mais la 

 dérivée seconde par rapport à a, qui est 







est positive; donc il ne peut y avoir qu'un minimum. Enfin, à cause de 



T {n -h i) = riT {n), 

 on a 



et l'on voit que le minimum unique qu'admet la fonction correspond à une 

 valeur de a comprise entre n et n + i . Ceci posé, on a, en appelant & un 

 nombre quelconque compris entre o et i , 



/(« + l) </(« + 1 + C?) </(« -h 2) 

 OU . ' 



et, à cause de r (n -(- 2) = (« + i) r (n -4- i), 



d'où 



r (n -I- 1 + (?) = «^r(n -f- 1) (i + £), 



£ s'annulant avec -• Mais n étant entier, on a, d'après M. Serret, 



n 



I 



r(n-(-i) = v'^e-''n" "(! + £'); 



