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 donc 



_ / » ■ < j n+S-i — 



r (n + (? 4- 1) = s/ûne-"n ^ (i + e"), 

 et, en remarquant que 



n ^ = (« + c?) (i+^j =(n+c?) 2g-j^,^j-)^ 



on trouve finalement 



T (« + c? + i) = \ITne-"-°{n + c?)""^ "^â ^j _^_ j)_ c. Q. i\ D. 

 » II. Posons 



log ^ -^- ■=?(«), 



/ — „ "-* — 

 \j7.T!e-".n a 



Il étant un nombre positif, entier ou non. Nous aurons 



9(oc)=o, f{n)-(f[ti + i) = (n+'-\\o^ii+'-\-i, 



et de là nous déduirons, en suivant la marche même de M. Serret, d'abord 

 la formule de Gudermarin 



mr=o 



et puis celle de Binet 



Seulement ces formules sont maintenant démontrées pour toutes les valeurs 

 positives de n. 



» III. On sait que Cauchy a basé sur la formule (i) une démonstration 

 importante de la série de Stirling prolongée jusqu'à un terme de rang quel- 

 conque et complétée par un reste dont on a deux limites. Cauchy fait aussi 

 usage du résultat suivant : 



n=co 



x'^ ^ 2ii x' + 4/j'7r»' 



e —e 



