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 a donnés ancune quantité qui devienne un maximum ou un minimum. 11 

 semble donc qu'il y ait là une contradiction. La remarque en a été faite 

 plusieurs fois, et il s'est élevé à ce sujet des discussions que M. Duhamel a 

 rappelées dans un article fort intéressant inséré au Compterendu de la séance 

 du 1 6 avril dernier. 



« L'objet de la présente Note est de montrer que cette contradiction 

 n'est qu'apparente; c'est-à-dire que la méthode de Fermât pour les tan- 

 gentes, tout en étant, comme il le dit, une application de sa méthode des 

 maxima et des minima, n'exige cependant la considération d'aucun maxi- 

 mum ou minimum. Ce fait, dont on ne s'est pas encore rendu compte, que 

 je sache, me paraît ressortir avec évidence des remarques suivantes. 



» La méthode des maxima et des minima, qui a été trouvée en premier lieu 

 par Fermât, est fondée, comme on sait, sur cette circonstance que si l'or- 

 donnée j d'une courbe atteint une valeur maximum ou minimum pour 

 une certaine abscisse .t, et que e désigne une quantité infiniment petite, 

 l'ordonnée voisine correspondant à l'abscisse .r — e ne différera pas de^ ou 

 plutôt nen différera que de quantités infiniment petites par rapport à e. 



)) Cela signifie, en d'autres termes-, que la tangente menée par le point 

 pour lequel a lieu le maximum ou le minimum considéré est parallèle aux 

 abscisses et se confond avec la courbe dans l'intervalle infiniment petit e/ 

 ou du moins ne s'en écarte, parallèlement à l'ordonnée, que d'une quantité 

 infiniment petite par rapport à e. 



» Or cette propriété de la tangente, de se confondre avec la courbe à une 

 distance infiniment petite du point de contact, est précisément celle qu'appli- 

 que Fermât dans tous les exemples qu'il donne de tangentes menées par sa 

 méthode. C'est donc cette propriété qui constitue en réalité la méthode dont 

 il s'agit; et comme elle s'est offerte à lui dans la méthode des maxima et des 

 minima, il lui conserve cette désignation, bien qu'il n'y ait plus de maximum 

 ou de minimum à considérer dans le problème. 



« En envisageant les choses à ce point de vue, on s'explique comment 

 Fermât a pu présenter légitimement comme une application ou une exten- 

 sion de sa méthode des maxima et des minima lUie méthode qui ne repose 

 sur la considération d'aucun maximum ou minimum. Il est permis de croire 

 que Descartes avait fini par le comprendre ainsi, puisqu'il eu était venu à 

 présenter sa propre solution du problème des tangentes comme étant celle 

 de Fermât rendue plus rigoureuse, et avait,cessé d'exiger qu'on lui montrât 

 un maximum ou un minimum. » 



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