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 — A proprement ou improprement primitif donne un moyen d'obtenir les 

 équations qui se rapportent à la multiplication complexe et révèle en même 

 temps une de leurs propriétés les plus importantes : nous voulons parler de 

 la division de leurs racines en périodes. Pour l'effectuer nous choisirons un 

 nombre premier «, dont — A soit résidu quadratique : le nombre des termes 

 d'une période dépend de l'exposant de la plus faible puissance de n, qui 

 peut être représentée par la forme (r , o, A), et le nombre des périodes pou- 

 vant varier avec n est lié au nombre des genres, ainsi que M. Kronecker 

 l'a remarqué le premier. 



» Avant d'entrer dans les développements auxquels nous avons été con- 

 duits, rappelons une remarque faite par M. Hermite, dans son Mémoire sur 

 les opérations modulaires. (P, Q, R) étant une forme de déterminant— A 

 à laquelle est attachée l'équation 



Pu='-h2Qu + R = o, 



toutes les formes équivalentes à (P, Q, R) se partagent en six séries ayant 

 respectivement pour types 



((P, Q, R), (P-t-aQ + R, Q + R, R), (P, P -+- Q, P + 2Q + R), 

 i(R,-Q,P), (R,-Q_R,P + 2Q + R), (P + aQ-^R, -P-Q, P). 



Toutes les formes d'une même série conduisent à la même valeur de (p*(u); 

 et en appelant x celle qui correspond à la première, les autres sont ; 



1 .r II 



— » 5 I — oc, I 1 



XX — I XI — X 



» Nous nous bornerons en ce moment au cas où A^ — 1 mod. 8, et nous 

 prendrons n = 2. La forme (P, Q, R) étant improprement primitive, des 

 six formes auxquelles elle donne naissance, deux ont leurs coefficients 

 extrêmes divisibles par 4; elles correspondent à des valeurs complémen- 

 taires du module, et font respectivement partie d'une série de formes jouis- 

 sant toutes de la même propriété. Mais ces séries elles-mêmes peuvent être 

 partagées en différents groupes. Nous considérerons en particulier dans 

 chacune d'elles le groupe des formes dont le coefficient extrême est divi- 

 sible par 16; elles fournissent toutes pour fsj^ (u) une même valeur, comme 

 on le reconnaît sans peine. Prenons maintenant deux formes (A, R, C), 

 A', R', C) appartenant respectivement aux groupes qui viennent d'être 



