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 la suppression du même facteur x{x — i) conduit à une équation qui est 

 le produit des polynômes, 



x^-hx-i-^, x*+ ^ix^-h Bx^-i- ix-h ^, 



dont le second répond au déterminant — i5. 



» Toutefois la difficulté d'isoler les uns des autres les facteurs de l'équa- . 

 tion J {x) — o rend cette méthode impraticable pour des valeurs un peu 

 considérables de (x. C'est pourquoi nous allons exposer un procédé diffé- 

 rent qui nous permettra de former les équations correspondantes atîx dé- 

 terminants — 23, — 3i, — 39, — 47, — 55. 



» Prenons l'équation modulaire F[l,k) — o, pour la transformation de 

 l'ordre n, n étant un nombre premier : le cas de n composé exigerait quel- 

 ques modifications de détail. Faisons la substitution 



X = — -—, k = x^; 



notre équation se transforme en une autre, dont le premier membre, abs- 

 traction faite des facteurs a- et x — i , se décompose en im produit de plu- 

 sieurs polynômes. Chacun d'eux égalé à zéro admet comme racines les 

 diverses valeurs que reçoit la fonction ^^(m) = \/k, w étant lui-même défini 

 par la relation 



Au*-i- aBu + C = o. 



La forme (A, B, C) est improprement primitive; son déterminant étant — A^, 

 on a 



A = 8n-i», 8«-3% 8n-5»,.... 



De plus A est divisible par 4> et C par 16 ; les explications données au com- 

 mencement de cet article font voir que chaque classe improprement pri- 

 mitive renferme deux groupes de formes satisfaisant aux conditions précé- 

 dentes, et donnant des valeurs distinctes de ^"(w), celles de ip'(w) étant 

 complémentaires. 



» Prenons, par exemple, « = 3, il vient 



A = 23, i5; 



l'équation modulaire du troisième ordre entre X et k se met sous la forme 



1* - 4X' (4A» - M) -t- 6XU-" + 4> (3X'- 4*) 4- A* = o,. 



