(9") 

 et, en y faisant la substitution indiquée, nous obtenons, après avoir divisé 

 par 



l'équation 



.z'^— x'' + gji:*-^ i^x^-h i8x^-h i6x-h S-=o, 



qui convient au déterminant — 23. 



» L'équation modulaire pour la transformation du huitième ordre donne, 

 en y faisant ^^ = «^ = j:, un polynôme égal au produit de trois facteurs cor- 

 respondants à —7, — a3, — 3i, abstraction faite des racines a: = o et 

 JT = I ; il est donc maintenant facile d'isoler ce dernier. 



» Les équations modulaires du cinquième et du septième ordre fournis- 

 sent les polynômes qui répondent à A = 39, 55. Enfin nous avons trouvé 

 celui qui se rapporte à A = 47, en combinant les transformations du troi- 

 sième et du quatrième ordre. On parvient ainsi aux résultats suivants : 



■r' ■+ X -\- 2 = O ^ = 7 



a-* -+-4^'-+- 5îx'+ 2.r + 4 = O A=l5 



.r" — x'4- 9x' + i3.r;'+ i8.r'+ i6jr + 8 = o A z= aS 



a:" — ^.r' + l i x* + l5x' •+■ 16.1;' -f- 20a: + 8=0 A = 3l 



■r' -+- 6x' -+- ^2.x^ + 6o.r'-|- 53x' + 5^x'+ l^x' -f- j6 = O A=: 3q 



x"-i-i5x''+']^.x'-\-cpx'+2^.r^ + i8']x^+i6ox'+ i56x=+ i68x' + 48x + 32 = o A = 47 



cr' + 6.r' + ijSx" + 84»^' + 53x' + 66.r' — I 2X^ — 2^x -+- 16 = O A = 55 



» Toutes ces équations sont à coefficients entibrs, le coefficient du pre- 

 mier terme étant l'unité, et le dernierime puissance de a égale au nombre 

 des classes. Les premiers membres pour x = ± i deviennent aussi des puis- 

 sances exactes de 2, et pour x= ± y/ — 1 on les trouve égaux à une puis- 

 sance de 2 multipliée par ±: y'— 1 , ou i zt y*— i. Ces différentes remarques, 

 qu'il est facile de prévoir d'avance, permettent d'abréger le calcul et four- 

 nissent en même temps des moyens de vérification. 



» Les équations précédentes sont d'tui degré double du nombre des 

 classes, mais il est facile de les ramener à un degré précisément égal à ce 

 nombre. A cet effet, nous formerons les équations dont les racines sont 

 «*(w) au lieu do <p*(w); celles-ci admettent des racines deux a deux com-* 

 plémentaires k^ et A'^,et, par conséquent, nous en déduirons des équa- 

 tions d'un degré sous-double, en prenant k'^k* pour inconnue. On trouve 



