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 dans les deux premiers cas, et dans le troisième cas 



P = (a:" + «X -f- by — x{cx + df, 

 a, i, c, «tétant rationnels. ^ - 



j) Faisons x ■= — i lorsque A = aS, il vient 



égalité impossible, a, è, c étant rationnels, puisque 7^3 mod4- 

 » Pour A = 3i, nous ferons .r = — 4» ce qui donne 



i4i = 3.47 = (aa - 8)* + (c - 46)», 



égalité de même impossible. 



» Il suffit de faire j: = — 4, lorsque A = 39, pour obtenir la même 

 conclusion : on trouve effectivement 



P=39i. 



» Voici encore d'autres résultats : Pour A =: 23, l'équation en -^ = x 

 étant 



P = x' — 29 a?* — 6x — f = o, 

 on a 



32P=-(i-a^)(2a:-3)»- 23(6x-t-i)% 



32P=:(i + 8x)(2j:+ 7)»-(34^+9)='. 



De même pour A = 3i, l'équation étant P = x' — 98 j:^ — 19a: —1=0, 

 on a 



32P= - (i -%x){ix-\f— 3i (lox 4- i)% 



32P = (1 + Sa-) (2^ - 7)" - 81 (6x + i)*. ■ 



» Ainsi, dans les deux cas, \fi+Sx s'exprime rationnellement en >r, 

 et il en est de même de \/i — 8x en s'adjoignant soit y— 23, soit y — 3i . 

 » Enfin, dans le cas où A = 39, l'identité 



{3X^-h^x-hiY-h'5{\ — Sx){-]x-jf = li{x'~i85x'-hi/i-ix^~i2X^i) 



montre que \/i — Sx s exprime rationnellement en x en s'adjoignant ^— 3. 



» Nous ajouterons, avant de passer à d'autres résultats, que l'on peut 



dans quelques cas particuliers former très-aisément les équations qui nous 



