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genre, analogues à ceux de M. Kronecker. La difficulté principale de cette 

 recherche consiste à fixer d'une manière précise le degré de multiplicité de 

 chaque racine ; mais en se fondant sur la relation importante, donnée par 

 Jacobi, entre le multiplicateur M, le module proposé et le module trans- 

 formé, on parvient heureusement à la résoudre. 



» Les relations que nous allons établir, analogues à celles qui ont été 

 données par M. Kronecker dans les Comptes rendus de l'Académie de Berlin 

 (séance du 29 octobre 1857), se présentent pourtant avec un caractère dis- 

 tinct. Le savant géomètre n'exclut, en effet, aucune classe dérivée; nous au 

 contraire, ne devons pas les admettre toutes. Toutefois, on verra qu'en 

 ayant égard à cette circonstance, plusieurs des résultats de M. Kronecker se 

 déduisent immédiatement des nôtres. 



» Nous aurons à faire usage des équations modulaires pour la transfor- 

 mation d'un ordre quelconque impair n. Voici leurs principales propriétés, 

 en supposant pour fixer les '\àé&s,^n = p'^q^ r', les quantités/^, 1^, r désignant 

 des nombres premiers. 



» Posons 



« = y(u), v = o[- 



V est racine d'une équation algébrique, dont les coefficients sont des fonc- 

 tions entières de u, celui du premier terme étant l'unité, d'un degré N égal à 

 p"~*<y''~'r''~' (/3 + i) (<7 -f- i)(r+ i). Toutes les racines de cette équation 

 sont données par la formule 



'2\ /^w -H iÇtr. 



M 



g et g, étant deux diviseurs de n tels, que n = gg,, m étant pris suivant le 

 module g, et les trois nombres g, g^ et m sans facteur commun. 



» De plus cette équation demeure invariable : i" après le changement de 



w en « et de M en (-) f ; 2° après le changement de « en - et de v en — 



» Plusieurs fonctions numériques devant se présenter également dans nos 

 formules, nous allons définir ici la plus simple. Appelons d^ un quelconque 

 des diviseurs carrés du nombre «, autre que n, lorsque n est lui-même un 



carré, et décomposons le quotient — de toutes les manières possibles en 



deux facteurs y et 7, premiers entre eux, y étant le plus petit des deux. Soit 



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