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r = ^Sy, f{(l) désignant le nombre des entiers qui ne surpassent pas d et 

 qui sont premiers avec d, en sorte que <p(i)= i, notre fonction numérique 

 e'ni a pour valeur la somme des produits T(p{d) étendue à toutes les valeurs 

 de d autres que \/n, quand cette racine est entière. Il suit de là que 3L est 

 égale à la somme des diviseurs inférieurs à la racine carrée de n, lorsque n 

 est sans diviseurs carrés. 



Cela posé, au lieu de l'équation entre u et p, dont il a été question, nous 

 prenons celle qui existe entre u^ = a: et i>* = /, f{x, jr) = o, et nous y 



faisons ^ = — Nous obtenons de la sorte une équation du degré aN, ad- 

 mettant a3î> + f{\fn) ou 2X racines égales à l'unité, suivant que n est ou 

 n'est pas un carré parfait. Les autres racines sont les valeurs de î>'(w), atta- 

 chées à certaines formes quadratiques, que nous allons définir. Leur déter- 

 minant étant — D, on a 



D = ra-S% 



où S = o, I, 2, . . . . Toutes les classes de l'ordre proprement primitif et 

 toutes celles des ordres dérivés de celui-ci, pour lesquelles le facteur 

 commun aux trois coefficients est impair et premier avec n, fournissent cha- 

 cune deux valeurs distinctes de <]3*(w), toutes les deux racines de l'équation 



J'ix,-] = o. La seule exception à cette règle concerne les classes dérivées 



delà forme (i,o, i), qui, au lieu de deux valeurs de (p'(u) n'en donnent 

 plus qu'une seule. 



» Une remarque essentielle doit ici trouver sa place. Plusieurs des déter- 

 minants — D pourront, dans certains cas, admettre un même diviseur A, le 



quotient r = T* étant un carré impair et premier avec n : soit fx leur nom- 

 bre. Nous avons 



« = S* + AT"; 



en sorte que l'hypothèse, où nous nous plaçons, revient à admettre l'exis- 

 tence de fj. représentations propres de n par la forme (i , o, A), la seconde in- 

 déterminée ayant pour valeur un nombre impair. Faisant donc abstraction 

 des représentations où T est pair, soit (P, Q, R) une classe quelconque pro- 

 prement primitive de déterminant — A ; parmi les classes de déterminant 

 — D que la règle posée plus haut permet de choisir, il s'en trouve pt, dérivées 

 de (P, Q, R) et donnant les mêmes valeurs de ç>'(«). Désignons l'une de 



