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» Et, d'autre part, deux plans diamétraux conjugués d'une sphère sont 

 toujours rectangulaires. D'après cela le théorème général qui précède donne 

 lieu à celui-ci : 



" Quand deux surfaces du second ordre A, B sont telles, que leur dévelop- 

 pable circonscrite ait pour une de ses lignes de striction un cercle imaginaire 

 situé a l'infini, les deux plans conjugués par rapport aux deux sut faces, que l'on 

 peut mener par une droite quelconque donnée L, sont toujours rectangulaires. 



» Et en particulier, les plans tangents aux deux surfaces menés par une même 

 tangente commune quelconque, sont toujours rectangulaires. 



» Par conséquent, les deux surfaces se coupent partout à angle droit. 



» 7. On reconnaît, à cette dernière propriété, les surfaces /)omo/bt a/es. 

 Ainsi un système de surfaces homofocales est simplement un système de 

 surfaces inscrites dans une même développable; système qui ne se distingue 

 de tout autre, qu'en ce que cette développable a pour une de ses lignes de 

 striction un cercle imaginaire situé à l'infini. 



>• Cette définition des surfaces homofocales est la plus concise, la plus 

 nette et la plus féconde. Elle conduit avec une facilité extrême à une foule 

 de propriétés de ces surfaces, que ne pouvait faire soupçonner la définition 

 accoutumée, savoir, que ce sont des surfaces dont les sections principales 

 sont décrites des méme.s foyers. Une des plus importantes de ces propriétés 

 est, sans nul doute, celle qu'exprime le théorème précédent (i). 



» 8. On sait que ce système de surfaces, qu'on a appelées depuis homo- 



Jocales, a été considéré eu premier lieu par M. Ch. Dupin, et qu'il tient une 



grande place dans le savant ouvrage qui a tant contribué, par les recherches 



neuves et importantes qu'il renferme et par la facilité des démonstrations, à 



répandre le goût des doctrines de la pure géométrie (2). L'illustre auteiu-, 



(i) On en conclut notamment cette belle propriété que, rie quelque point de l'espace que 

 l'on considère deux surfaces homofocales, leurs contours apparents paraissent se couper à 

 angle droit. D'où il résulte, d'après la théorie de Monge, que ces deux surfaces forment les deux 

 nappes lieujc des centres de courbure d'une certaine surface unique (voir Aperçu historique, 

 p. 3g2). Premier exemple, et peut-être le seul jusqu'ici, de deux nappes ou surfaces que l'on 

 reconnaît comme étant le lieu des centres de courbure d'une autre surface. Celte propriété 

 des deux surfaces homofocales conduit naturellement, d'après la théorie même de Monge, à 

 la considération des lignes géodésiques sur les surfaces du second ordre. 



M. Liouville a donné l'équation différentielle de la surface, ou plutôt des surfaces paral- 

 lèles qui ont leurs centres de courbures sur deux surfaces homofocales (voir Journal de Ma- 

 thématiques, t. XVI, p. 6; année i85i). 



(2) Développements de Géométrie, etc., Paris, 181 3; in-4''. 



