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■» C'est dans ce même travail que se trouve pour la première fois cette 

 propriété des surfaces homofocales, d'être toutes inscrites dans une même 

 développable ; propriété qui est la base d'une foule de conséquences. 



10. Depuis, la question des lignes géodésiques sur l'ellipsoïde m'a 

 donné lieu de reconnaître que ces surfaces homofocales sont aussi im- 

 portantes dans l'étude de ces lignes, qu'elles l'ont été dans la question des 

 lignes de courbure. Il nous suffira de rappeler ici cette propriété fondamen- 

 tale, que : les tangentes à une ligne géodésique tracée sur une surface du second 

 ordre sont toutes tangentes à une autre surface, homofocale à la première. Et 

 par suite, les plans osculateurs de la ligne géodésique sont eux-mêmes tangents 

 à la seconde surface (i). 



» 11. L'objet de la présente communication est de présenter un ensem- 

 ble de propriétés des surfaces homofocales déduites immédiatement de la 

 considération du cercle imaginaire situé à l'infini, c'est-à-dire de ce cercle 

 qui forme une des lignes de striction de la développable (imaginaire) cir- 

 conscrite aux surfaces, et qui constitue le caractère propre et essentiel de 

 cette développable. 



» Ce^ propriétés sont très-nombreuses; mais nous les comprendrons, 

 comme nous avons fait pour les coniques sphériques, sous quatre théo- 

 rèmes généraux, desquels il suffira de déduire les principales conséquences 

 particulières. 



» Et quant à ces quatre théorèmes généraux, ils offrent un exemple bien 

 remarquable de l'enchaînement qui existe entre toutes les parties d'une 

 théorie, et de la possibilité souvent de les ramener toutes à un principe unique 

 et très-simple : car ces théorèmes, quoique différents, se tirent d'une même 

 proposition fondamentale concernant des surfaces d'un ordre quelconque. 

 Voici l'énoncé de cette proposition, appliquée à des surfaces du second 

 ordre : 



» Théorème fondamental. Quand quatre surfaces du second ordre A, A', 

 B, B' sont telles, que les deux développables circonscrites à ces surfaces prises 

 deux à deux, soient circonscrites à une même autre surface du second ordre : il en 

 sera de même des deux développables circonscrites aux surfaces A, A', B, B' 

 prises deux à deux d'une autre manière. 



» Par exemple, si les développables | AB [ ? | A' B' | sont circonscrites à 



(i).Voir Comptes rendus, t. XXII, année 1846; p 68-72, 107-1 1 1, 3i3-3i8, Si^-Sai, 



