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n'", Appliquons-leur la formule (i), et ajoutons les résultats obtenus 



nous aurons 



F(«)+2F(n - i') + 2F(«-2>) + ...= 2N - lSf(^, 



en désignant maintenant par F (D), comme le fait M. Kronecker, le nombre 

 des classes proprement primitives et de leurs dérivées pour le déterminant 

 — D. Or 2N est égale à la somme de tous les diviseurs de «, comme il est 

 très-facile de le reconnaître. En second lieu el en employant ce théorème des 

 Disquisitiones ar'uhmeticœ, savoir : i, a, a', a",. . . A, désignant tous les di- 

 viseurs d'un entier A; 9 (a) + (p(fl'} -f- . . . = A, on peut démontrer que 

 23ï> donne précisément la somme de tous les diviseurs de n inférieurs à sa 

 racine carrée. Par conséquent, 2N — 23^ est égale à la somme de tous les 

 diviseurs de n plus grands que \ln ; et la formule qui précède coïncide avec 

 celle de M. Rronecker : mais notre analyse met en évidence les groupes de 

 classes qui figurent dans les relations, dont celles de ce géomètre se dé- 

 duisent par voie d'addition. La méthode que nous venons d'exposer con- 

 duit à un grand nombre de résultats semblables. Nous nous bornerons à en 

 énoncer quelques-uns. En supposant «^3 mod 4, on a 



(2) aF(n).+ 4F(«- 2^) + 4F(« - 4*) + • • •= N - 2,%, 

 et si n ^ I mod 4, • 



(3) 4F(«- i») + 4F(n-3^) + 4F(n-5")-+-...= N-a3îi, 



en ayant soin de remplacer dans cette dernière formule 3t par 3Î, -+- - (s\\jn), 



lorsque n est un carré parfait. On ne doit pas oublier que nous ne tenons 

 pas compte des formes dérivées dans lesquelles le facteur commun aux trois 

 coefficients est pair, ou non premier avec n. En ayant égard à cette circon- 

 stance, les formules (2) et (3), jointes à celle qui a déjà été établie, condui- 

 ront aux relations V et VI données par M. Kronecker dans son Mémoire : 

 Ueber die Anzahl der verschiedenen classen quadratischer Formen von nega- 

 tiver déterminante [Journal de Crelle, t. LVII, p. 249). 

 » Supposons 71^3 mod 8, les valeurs deD, 



n — 2', n — 6', n — lo'',.. . 



sont toutes ^ — i mod 8, tandis que * 



• n, n — 4", « — 8°,. . . 



