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n En combinant les équations (2) et (6), on obtient la suivante: 



(9) 8F(«-2^)-t-8F(«-6=') + 8F«- (10*) + . . . = N, 



dans laquelle n — a", n — 6*, . . . sont tous ^ 3 mod 8. 

 » Voici d'autres résultats : 



F(2«)-f-2F(2n — 2") 4- 2F (2 « — 4')4-...= N, 



2F(2« — I*)+ 2F(2«— 3=") + ... • =N — 2V, 



en désignant par v le nombre des décompositions distinctes de n en deux 

 carrés premiers entre eux. Ou doit, comme nous l'avons déjà dit plus haut, 

 omettre les classes dérivées dans lesquelles le facteur commun aux trois coef- 

 ficients n'est pas premier avec n : la même observation s'étend aux formes 

 dérivées de(i, o, i) quel que soit le diviseur commun aux trois termes. Les 

 relations II et III du Mémoire de M. Kronecker peuvent se déduire de ces 

 deux dernières formules. 



» Remarquons encore que le calcul qui nous a donné la première d'entre 

 elles démontre en même temps l'existence d'une équation à coefficients 

 rationnels d'un degré double du nombre des classes de l'ordre proprement 

 primitif de déterminant — in, ayant pour racines les valeurs de 9' (m) at- 

 tachées à deux des six groupes de formes contenues dans chacune d'elles. 



» Les classes proprement primitives ou dérivées de formes proprement 

 primitives sont les seules qui se soient présentées jusqu'ici. Voici maintenant 

 quelques formules où figurent des classes improprement primitives. Appe- 

 lons F, (D) le nombre des classes improprement primitives, ou dérivées de 

 formes improprement primitives, ayant — D pour déterminant. [On ne doit 

 pas tenir compte des classes dérivées pour lesquelles le facteur commun aux 

 trois coefficients admet un diviseur de n.) On supprimera de même les classes 

 dérivées de (i, o, 3) quelles qu'elles soient^ Désignons de plus par v, le 

 nombre des représentations propres de n par la forme (i, o, 3) : nous avons 



3f;(4«- .»)+3F,(4«-3»)+3F, (4n-5^) + ...= N- 2v,. 



Les nombres 4« — 1'', 4" — 3*, 4" — 5%. .. sont tous ^3 mod 8. 

 » On conclut aisément de la cette nouvelle relation 



F(4n-i*) + F(4«-3=)+F(4«-5^)+...= N. 



Nous avons également trouvé la somme 



F(8/^-l»)-t-F(8«-3")-^F(8«- 5')-^...^ 



