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analyse mathématique. — Sur l'interpolation; par M. Hermitë. 



« La question dont je vais m'occuper dans cette Note est celle qui a pour 

 objet de représenter approximativement par un polynôme d'un degré 

 donné m une fonction F (#) , dont on connaît les valeurs pour ar s=s .r , 

 x t , ,r 2 ,..., x„, n étant supérieur ou au moins égal à m, en se donnant la 

 condition que la somme des carrés des différences entre ce polynôme 

 et F (a:), pour x = x , x^..., x„, multipliées chacune par des nombres 

 donnés, soit un minimum. M. Tchebichev a le premier résolu cette ques- 

 tion importante dans un excellent Mémoire sur les fractions continues, pré- 

 senté en 1 855 à l'Académie de Saint-Pétersbourg (*), et c'est de son analyse 

 même que j'ai tiré une nouvelle méthode qui, sous une forme plus géné- 

 rale, donne les résultats de l'auteur, indépendamment des fractions conti- 

 nues, et en les rattachant immédiatement à la formule d'interpolation de 

 Lagrange. 



» I. Soitf(x) = {x — x il )(x — x t )...(x — x„). Cette formule est, comme 

 on sait, 



/(x) u, i /(x) », | . fi"). ■ *» 



et si l'on y ajoute le produit de f{x) par un polynôme arbitraire, on aura 

 l'expression générale de toute fonction entière de degré supérieur à n, et 

 devenant encore u , «,, . . . , u„, pour x = x , x,, . . . , x n . Mais en dési- 

 gnant par Q [x) un polynôme indéterminé et faisant 



cette expression plus générale de la formule de Lagrange peut encore être 

 présentée ainsi : 



n{x)=f {x)ll +J\{x)u t ^r.. .-hf n (x)u„. 



Cela posé, voici comment s'en tirent les formules nouvelles qui se rap- 

 portent à l'interpolation par la méthode des moindres carrés Faisons 



(*) Une traduction en français de ce Mémoire, par M. Bienaymé, vient d'être publiée dans 

 le journal de M. Liouville. 



