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 Heure (a e édition), j'ai étudié diverses propriétés des fonctions rationnelles 

 linéaires de la forme 



az ■ 



(0 G *= J r L -±V> 



K ' a' z-\- V 



où z désigne une variable indépendante et a, b, a', b' des constantes don- 

 nées. Ces propriétés subsistent avec les modifications convenables, lorsque 

 a, b, a', b' représentant des nombres entiers, on convient de prendre tous 

 les résultats suivant un module premier p. On est alors conduit à des consé- 

 quences intéressantes pour la théorie des nombres, et qui sont surtout 

 utiles, comme je le ferai voir, dans la théorie des substitutions. 



» Désignons donc par p un nombre premier impair quelconque, et sup- 

 posons que les constantes a, b, a', b', de la formule (i) soient des nombres 



entiers quelconques pris suivant le module p. Représentons aussi par ^ z 

 le résultat que l'on obtient en exécutant p. fois sur la variable z l'opération 

 désignée par 6. Comme les fonctions linéaires de la forme (i), prises suivant 

 le module p, sont en nombre limité, il est clair que la série indéfinie 



(a) z, 9z, 2 z, 3 z,..., 



ne pourra jamais offrir qu'un nombre fini de valeurs distinctes suivant le 

 module/?, et par conséquent quelques-uns des termes de cette suite se trou- 

 veront nécessairement reproduits une infinité de fois. Supposons que Ton 

 ait identiquement 



fl^ïsfl"» ou 6 n e m z~6' n z (modp), 

 on pourra écrire z au lieu de $ m z, et l'on aura identiquement 



(3) 9"z~z (mod p), 

 d'où l'on conclut aisément 



(4) 9 Xn +i'z=d p z' (mfdp), 



quels que soient les entiers positifs X et p. On peut convenir d'étendre cette 

 'formule à toutes les valeurs positives, nulle ou négatives de f>, en sorte 

 qu'on aura en particulier 



6°z = z (mod p). 



Il résulte de ce qui précède que si n désigne le plus petit nombre pour lequel 

 la congruence (3) a lieu identiquement, la série (2) ne comprendra que les 

 n termes distincts 



(&) 2 , fia, 2 z,..., 5»-<z, 



