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et en outre deux quelconques de ces termes seront nécessairement incon- 

 grus suivant le module p, au moins tant que z restera indéterminé. Ce plus 

 petit nombre n, pour lequel la congruence (3) a lieu identiquement, sera 

 nommé V ordre de la fonction rationnelle linéaire 6 z, pour le module p. 



» Les valeurs réell«s que j'attribuerai à la variable z sont les termes de 

 la suite 



o, i, a, 3,, . , p . — i, oo ; 



la substitution de oo à z se fera d'après les règles de l'algèbre ordinaire. 

 Lorsque, pour une valeur particulière de z, le dénominateur de la fonc- 

 tion 6z sera congru à zéro, je dirai que la fonction prend la valeur oo ; 

 c'est là une convention que je suis libre de faire, attendu qu'elle n'est en 

 contradiction «avec aucun des principes fondamentaux de la théorie des 

 congruences. 



» 2. Posons généralement 



(6) e m z= a r_^ b L % 



a ■ z ■+- y 



m m 



et faisons, pour abréger, 



(7) t = \l{a + b'f-l\{ab'- ba'), 



j V m = (a+b'+t) m +(a+ f-t) m , 



(8) j _ ( g + b'+ t)»- {g + j' — ty 



t 

 on trouve aisément (voir le Mémoire cité plus haut) 



On voit par ces formules que, pour satisfaire à la congruence (3), il faut et 

 il suffit que l'on ait 



(io) Q«=o (modp); 



mais, pour que n soit effectivement l'ordre de la fonction ôz, il faut en outre 

 que, pour toute valeur de m inférieure à //, la quantité Q,„ soit différente 

 de zéro 



» 3. Examinons d'abord le cas où la quantité désignée par t se réduit 

 à zéro La congruence (io) devient alors 



anfa + i'j^'^o (mod p). 



On ne peut admettre l'hypothèse rt4-/>'=o(mod /;); car, à cause de 



