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 < = o, on -en. conclurait ak'~-ba'=o (mod p), et la fonction as -se 

 réduirait à une simule constante. La congruence (10) ne peut donc avoir 

 lieu que si n est un multiple de p, et par conséquent, dans le cas que nous 

 examinons, l'ordre de la fonction Qz est -toujours égal au module p. On 

 voit aussi que la quantité ab' — ba! est toujours résidu quadratique de p, et 

 comme on peut, sans changer la valeur de Qz, multiplier par un facteur 

 quelconque les quatre constantes a, b, a', b' ', il est permis de supposer 



ab' — ba' = i (mod />), 



et, parce qu'on peut aussi changer à volonté les signes de ces mêmes con- 

 stantes, la condition t — o peut s'écrire 



a -+- b'= 2 (mod p). 



Des congruences précédentes on tire 



b = — - ~ ? b'=o. — a ( mod p ) ; 



ces formules peuvent servir à former toutes les fonctions Qz d'ordre p que 

 nous considérons; on pourra donner à a et à a' l'une quelconque des 

 valeurs 



o, i, 2, 3,..., [p — i): 



les formules précédentes feront connaître ensuite b et b'. Il faut cependant 

 remarquer que quand on prend a' = o, on doit faire en même temps a = i , 

 et alors b peut avoir l'une quelconque des valeurs i, 2, 3,..., (p — 1); dans 

 ce cas la fonction Qz est entière. D'après cela, en désignant par N le nombre 

 total des fonctions linéaires d'ordre /?, on voit que l'on a 



Notre hypothèse t = o exprime précisément la condition pour que les deux 

 racines de la congruence du second degré 



$ z = z (mod p) 



soient égales entre elles; désignons par z la valeur commune de ces racines 

 qui peut être l'un quelconque des nombres 



(10) o, 1, 2, 3,..,-. (p - 1), co; 



les termes de la suite 



(n) z, Qz, $»z,..., Q p -'z 



se réduiront tous à z pour z = z ; mais, pour toute autre valeur de s, ces 



